可视化微分几何和形式

第二幕习题

一般曲面上的度量

  1. 曲率 与坐标的选取无关。从平坦的欧几里得度量开始，
  • 如果 且 ，解释坐标系 的几何意义，并证明其正交性。
  • 通过计算坐标系 的度量证明其正交性，再用式 (4.10) 验证新的度量仍然是平坦的，即曲率 。
  • 再次做坐标变换，证明双曲线 常数 的正交轨迹是 常数。对这个共形坐标再做一次第二问的操作，利用式 (4.10) 或式 (4.16) 验证 。

  1. 根据题目：

    给出的坐标系 且 ，其 曲线和 曲线分别表示了固定 和 时， 和 平缓变化得到的曲线。

    • 对于 和 ，固定 ，可知 ，与 无关。说明 曲线表示平面直角坐标系上以原点为圆心， 为半径的一组同心圆。

    • 对于 和 ，固定 ，可知 ，表示一组经过原点的直线，其斜率可以为任意值。直线成对出现，关于横轴（纵轴）对称。

    • 所以坐标 位于这样的坐标系内：其内任意一点到坐标原点的距离为 ，经过其与原点的直线，倾角大小为 。其与极坐标类似

      Pic. Exercise 1.1.1

    只不过按照 和 的表示，圆周距离原点越远越密集，经过原点的直线仍是按角度均匀分布的。

    • 要证明坐标系 是正交的，只需证明在任一点 处，两条坐标线的夹角 。如图所示：

      Pic. Exercise 1.1.2

      对于点 ，让其沿方向 做微小移动，如图所示

      Pic. Exercise 1.1.3

      可知

      当 足够小时，图中蓝色三角形接近于直角三角形，即 接近于 ，此时有 ，得 ，即 ，说明 曲线和 曲线在坐标 处互相垂直。

  2. 计算度量

    由上一问的推导过程，可知

    又

    所以有度量

    将结果代入 (4.10)，即

    所以曲率是平坦的，即 。

  3. 首先问题描述的很奇怪，描述的 常数 和 常数 并不是表示中的 曲线和 曲线……没看懂是啥意思。

    基于给出的坐标变换表示，可以得到（因为函数关于 轴对称，所以正负号可以忽略）

    此时分别固定 和 ，才能得到题目中描述的 曲线和 曲线，分别为 常数 的双曲线，以及 常数 是绕原点旋转 45° 后的双曲线。如图所示：

    Pic. Exercise 1.1.4

    以 为坐标的点做增量 ，可得如上图所示的增量三角形。不过现在几何上很难判断 是否为 ，所以还需要计算一下点 处的曲线的夹角。

    这里直接给出 的表达式（按照泰勒展开 2 阶）：

    说明 无限小时，，所以双曲线 常数 和 常数 是正交轨迹。

    此外有

    可得 ，根据 (4.10)，有高斯曲率 ：

    所以得到的新度量是平坦的。

    如果按照 曲线和 曲线进行分析，则有 曲线和 曲线如下： （曲线）（曲线）

    曲线和 曲线是一对关于 轴对称的，开口分别朝向 轴负向和 轴正向的抛物线中在 轴上方或下方的一半。

    我们让 沿 增长一小段，如图所示

    Pic. Exercise 1.1.4.1

    则形成的增量三角形中，可以验证：

    所以有

    当 和 趋近于 0 时，有 ，即增量三角形趋近于一个直角三角形，，有 。所以 曲线和 曲线是正交的。

    根据上面的分析，有（略去 和 的小项）

    可得 ，计算可得高斯曲率 ：

    不过 ，是个幂指数变换。这几章的题也太难做了吧。多谢 sympy 救命。

  1. 中心投影。考虑图 4-1 所示的球面中心投影法。
  • 证明：球面上的无穷小圆周变形成椭圆，其形状由式 (4.3) 决定。
  • 解释这样的变形为什么是对称的：如果选取平面上的无穷小圆周，它在球面上的逆像是同样形状的椭圆。

  1. 证明：考虑经过球心和球面上无穷小圆周，且垂直于水平面的平面剖面

    这里根据文中的描述，假设投影得到的椭圆关于此剖面对称，椭圆的中心一定位于此剖面和水平面的交线上（圆心在平面上的投影就是椭圆的一个焦点）。

    实际上根据图 4-2 可知，椭圆的长轴与短轴之比即为 。在球面上的圆满足 ，根据图 4-2 下的分析，有

    那么有

    所以

    平面椭圆的长轴平面椭圆的短轴

  2. 在平面上的无穷小圆周，有 ，此时根据

    可得

    球面椭圆的长轴球面椭圆的短轴

    所以这种变换是对称的。此外，椭圆的形状由椭圆离心率 决定。所论是正向投影还是反向投影，得到的椭圆离心率为：

    且只与 有关，所以两种映射得到的椭圆形状相同。（说成是相似更好吧，毕竟大小不一定一样）

  1. 中心投影。用计算重新推导中心投影的度量公式 (4.2)。

对于中心投影，地图上的点 与球心的交点 的空间坐标为

投影平面上做微小增量 ，得

于是 。根据 sympy，将 对 和 进行二阶展开（一阶展开为 0），有

  1. 将球面中心投影的度量公式 (4.2) 带入曲率公式 (4.10)，验证 。

首先有中心投影度量公式

可得

所以有高斯曲率 （太难推了，感谢 sympy 救命）：

  1. 证明欧几里得平面上 边形的内角和为 ，从而证明将角盈定义为 内角和 是合理的。现在，令 是弯曲曲面上包含点 的一个小 边形，（用测地线）连接 与每一个顶点，将这个 边形分解为 个三角形。证明式 (2.1) 对 边形仍然成立。

  1. 将多边形划分为 个三角形即可，角盈存在可加性

  2. 首先有 (2.1) 式： 可以认为三角形的顶点在 的过程中，两个顶点向点 移动。

    使用小 边形代替 ，角盈为 边形内角和，那么 (2.1) 式

    边形边形边形内角和边形（为多边形拆分后的第个子三角形）

    又

    公式

    所以

    边形边形

    等号左右与 无关，所以有

    边形边形

    从而，(2.1) 对 边形仍然成立。

  1. 球极平面投影的度量公式。假设在图 4-10 中，我们选择 指向正北方（而不是途中所示的指向正西方）。用以下两种方式证明这样可以得到度量公式 (4.22)。
  • 用计算的方法；
  • 用几何的方法。

  1. 使用几何方法计算度量，考虑下图（由于无法标注 所以用 和 代替）：

    Pic. Exercise 6.1

    上图显示的是球极投影中，经过 、 和球面上一点 的截面。为了让 指向正北方， 的方向必须沿径向向外，即图中从 到 的位置， 与球面的交点为 ，而 的弧长就是待求的 。

    首先经过 作平行于 的平行线，交 于 点。根据图中标注的角度可知，在等腰三角形 中，底角 ，所以 ，。

    当 无限小时，，所以 ，所以

    上式与图 4-11 上方的结论相同。于是类似地（忽略具体推导），可得球极投影的度量公式为

  2. 球极平面投影中，连接坐标点 与球极的直线与上半球面的交点 的空间坐标为

    为了让 沿北极向上，投影平面上的微小增量必须有 且 ，即沿径向向外增加 ，得

    于是 。根据 sympy，将 对 和 进行二阶展开（一阶展开为 0），有

  1. 对径点。如图所示的黎曼球面 与经过点 及其对径点 的平面相交生成的纵向横截面。证明：三角形 和三角形 相似。推导出式 (4.27)。
Pic. Exercise 7

首先如图可知， 是一对对径点，所以有 。又 ，所以显而易见的有 ，可得 ，有

在复平面 上， 与 方向相反，所以有 ，即 .

  1. 共形（“等温”）坐标。给定一般 坐标系的一般曲面度量公式 ，

    我们的目标是求共形的 坐标系，使得，如果 ，则

    令 为从 地图到曲面上的面积放大因子，从而式 (4.11) 变成 .

  • 证明：度量公式有复因式分解
  • 假设存在复积分因子 使得 证明：此时 的确是曲面上的共形坐标系 其中
  • 利用 证明 且
  • 证明
  • 上式两边乘以 ，得到
  • 利用复等式的实部和虚部分别相等，推导 的变化率和 之间的如下关系式.
  • 假设 ，那么 和 都是下述贝尔特拉米—拉普拉斯方程的解. 此方程是椭圆型的。根据椭圆型偏微分方程的一般理论，这个方程肯定有解，从而证实了的确存在共形坐标系！
  • 设 是第二对共性坐标，满足 令 和 ，证明 ，，。利用前数 2 问证明 平面和 平面之间的局部映射是一个伸扭，其特征是著名的柯西—黎曼方程： （对这些现象的完整讨论参见《复分析》。）
  • 在这种情况下，可将贝尔特拉米—拉普拉斯方程化为拉普拉斯方程：

  1. 考虑

    等式右边

  2. 突然就跑出来个“复积分因子”，搞不懂。不过从题目描述来看，积分因子和括号中的内容是相乘的关系，而不是个积分算子，且积分因子是个复的，说明积分因子的值是个复数。考虑 ，有

    取 ，有

    成立。

  3. 考虑 ，有

  4. 考虑等式左边，有

  5. 有

    所以

  6. 因为 ， 则

    可得

    所以有

    则

  7. 将 代入方程，有

    等号左边

    将 代入方程，有

    等号左边

    所以 和 是贝尔特拉米—拉普拉斯方程的解.

  8. 既然令 ，，那么肯定有

    要证明 平面和 平面之间的局部映射 是一个伸扭，有

    所以函数 可微，且是 (4.17) 和 (4.18) 的形式，且

    所以 平面和 平面之间的局部映射 是一个伸扭。从而

    即柯西—黎曼方程。

  9. 首先有方程

    基于

    有

    等号左端

    即得拉普拉斯方程 。

  1. 共形曲率公式。将共形曲率公式 (4.16) 应用于球面的球极平面投影的度量公式 (4.22)，验证 。

首先根据 (4.22)，有

所以

对于 ，有两种计算方法，即按照 展开和使用极坐标系下的 Laplacian 算子形式：

  1. 令 ，那么有

    所以有

  2. 考虑极坐标下的拉普拉斯算子 ，有

    所以有

  1. 阿基米德—兰伯特投影。考虑 平面上的矩形 。想象：首先将矩形的左右两边用胶带粘在一起，生成一个高为 的圆柱面，再将这个圆柱面套在半径为 的球面外，使得圆柱面紧贴球面的赤道，如下图所示。
Pic. Exercise 9

对于球面上每一点，经过该点，作垂直于圆柱面中心轴的水平径向直线，并向外将该点投影到圆柱面上。展开圆柱面，就得到了球面在矩形上的地图，这就是阿基米德—兰伯特投影。约公元前 250 年，阿基米德就研究过这个投影法，2000 多年后，兰伯特重新发现了这个投影法，并于 1772 年公布与众。兰伯特的开创性论文是第一个关于地图制作的系统性数学研究，阐明了该（投影）制图法保留了哪些性质不变。

  • 证明（最好用几何方法）：这时有球面度量公式

  • 利用曲率公式 (4.10) 验证 。

  • 利用式 (4.12) 证明这个投影式保持面积不变的。例如，图中所示的两个 T 形面积相等。这个结果意味着，整个球面的面积等于圆柱面的面积，即最初矩形的面积：。阿基米德对于这个结果（以及体积的相关发现）感到非常自豪，请他的朋友将这个图刻在他的墓碑上。大约是一个半世纪之后，公元前 75 年，当西塞罗找到阿基米德的墓时，已经是野草丛生，但墓碑上的圆柱面和球面仍然清晰可见。 利用上面的结果（不用积分法），证明：球冠 的面积 为

  1. 为分析方便，考虑上半球面上的点 及其在圆柱面上的投影点 。从点 处作增量 且 ，。则沿着纬线的增量 是

    令考虑经过球心、圆柱轴线和点 的截面，如图所示 Pic. Exercise 10.1

    蓝色小三角形与三角形 相似，可以得到沿经线的增量 与 的关系

    于是有

    当增量趋于无穷小时，化简得

  2. 根据公式 (4.10)，有 ，，取

    于是

  3. 根据 (4.12)，有 即转换前后面积不变。

    以图 2-4 为例，对应于角 的球冠，在圆柱面上的投影区域坐标范围为 ，此区域的面积为 。由于阿基米德—兰伯特投影保持面积不变，球冠面积对应于区域面积，所以球冠面积为 。

  1. 圆柱面中心投影. 重新考虑上题中在圆柱面上对球而作图的问题，这次将圆柱面向上和向下无限延伸。我们再次将球面投影到圆柱面上，但这次想象在球心有一个点光源，投射到圆柱面上。这就是圆柱面中心投影。
  • 画出投影示意图，证明：。
  • 利用第一问的结果，或者直接用几何方法，证明：现在有度量公式
  • 利用曲率公式 (4.10) 验证 。

  1. 考虑经过圆柱中心轴和点 的截面图，

    情况 1 情况 2
    Pic. Exercise 11.1.1 Pic. Exercise 11.1.2

    无论是情况 1 还是情况 2，显然都有 ，则 。特别的，当 时，，与 的符号一致.

  2. 考虑 在圆柱面上的微小增量 ，对应在球面的长度增量分别为 和 。

    首先沿着纬线的增量

    其次如第一问给出的图所示，沿经线的增量可参考下图

    Pic. Exercise 11.2

    有

    于是

    由于

    代入可得

    增量趋于无穷小时有

  3. 根据公式 (4.10)，有 ，，取

    于是

  1. 墨卡托投影。前两道习题介绍了将球面投影到圆柱面上的两种方法，它们都具有如下两个性质：(1) 经线（ 常数）被映射为圆柱面上具有相同 的纵向母线；(2) 纬线圆（ 常数）被映射为圆柱的水平截面圆周。1569 年，格拉尔杜斯·墨卡托发现了第三种投影法，它也具有这两个性质，而且是共形的，这是其关键优势。
  • 利用几何方法论证，如果 是球面上沿着纬线圆的微小运动，则上述两个性质蕴含 ，其中 是圆柱面上的水平运动。 为了保证这个地图是共形的，必须保证沿所有方向的无穷小运动的标量因子都相等。假设 是沿经线的运动，并记录球面上的点 在圆柱面上的像的高度为 ，证明：
  • 如果要求赤道上的点都被映射到 轴上，证明（可通过积分技巧导出）墨卡托投影由下式决定： 如果你按照固定的罗盘方向驾驶飞机或船只，就会沿着斜驶线航行（图 6-5c），斜驶线也成为恒向线。把圆柱面展开，平放在桌面上，就得到了一张标准的墨卡托平面航海图。斜驶线在航行图中是什么样的？（无需计算，只利用共形性！）

  1. 首先，根据 (2)，球面上沿纬线圆的微小运动，运动过程中 为常数。其次，根据 (1)，微小移动会导致 存在微小增量 。微小运动 无论在哪条纬线圆上，最终都会映射到半径相等的圆柱面上的平行圆周上，且映射长度为 ，与 无关。

    在保持 在球面和圆柱面都相同的前提下，有

  2. 因为是共形映射，比例系数与无穷小移动的方向无关，所以沿经线移动同样有 成立。又 （ 增加而 减小），，所以

    考虑无穷小位移，有

  3. 直接积分：

    又赤道上的点需要映射到 轴上，即 的点对应的 ，代入得

    于是

  4. 应该是直线吧，毕竟球面上的微小位移保持共形，那么微小位移与球面上的经线和纬线圆的夹角与圆柱面上映射后的像与 轴和 轴的夹角相同。既然是球面上的直线运动，放到曲面上也一样吧。

    查了一下，按照罗盘的固定方向，指的是球面上与经线交角相等的弧线，前进方向与罗盘的北方的夹角总是固定。考虑共形性，投影圆柱面上的像的轨迹与投影后的经线（垂直母线）的夹角固定，所以像应该是直线。

  1. 不可能存在的好地图。在上面几道习题里，我们遇到了球面的两个特别的地图，一个保持面积不变，另一个保持角不变。是否存在球面的一个地图，既保持面积不变，又保持角不变？证明：任何弯曲的曲面都不可能有这样的地图，不仅是球面。

  1. 假设曲面上的点 在地图上的映射为 。建立局部正交坐标系使得

    首先如果映射保持面积不变，则有 (4.12)：

    得 。此外如果保持角度不变，则有 (4.14)：

    所以有 ，，根据此度量公式计算高斯曲率 ：

    根据 (2.1)，满足高斯曲率为 0 的曲面只能是平面。说明除了平面，任何弯曲的曲面都没有满足题设要求的映射方式。

伪球面和双曲平面

  1. 波利亚关于斯涅尔定律的力学证明。波利亚（Polya，1954）提出了如下关于斯涅尔定律的奇妙力学解释，也为我们提供了思考双曲明面上测地线的另一种思路。给出图 5-6 的改版如下图所示。
Pic. Exercise 14

其中空气和水的界面被替换为一根无摩擦的杆，杆上有一个可滑动的环 ，环上系着两根长度固定的绳子。绳子挂在钉在点 的铁钉上，铁钉是无摩擦的。绳子系着重物，重量为 ，重物位于 正下方，与其距离为 。

  • 考虑系统的势能，证明：当 取最大值时，系统达到平衡。

  • 当系统达到平衡时，作用于环的两个拉力 和 的水平分量相互抵消。证明：

  • 令绳子从点 到点 的长度为 ，则 常数。取 ，其中 和 分别是最初光学问题中光在空气和水中的传播速度，证明：第一问中的力学问题变成了最初寻求耗时最少的传播路线的光纤问题，具有相同的数学关系式 取最小值

  • 利用第二问中额力学结果证明斯涅尔定律。

  1. 证明：考虑物体 在铁钉下方的位置，令铁钉 到地面的高度为 ，则有总势能 注意 和 不变，只有当 恒定（即最小值或最大值）时总体势能 恒定，此时系统达到平衡，不会发生动能与势能的转换。对于 和 组成的系统，势能只有最小值，而不会出现最大值（因为 的位置会导致势能无限增大），所以只有 取到最大值时才能让势能达到恒定。

  2. 同一根绳子上的拉力相同，所以有

    因为系统达到平衡，水平方向的力分量相互抵消，有

    即

  3. 设 ，则将 的表达式代入第 1 问，得 按照第 1 问，只有当 取得最大值时总体势能最小。于是，只有当 才能使 最大，从而让整体势能最小。

  4. 根据第 2 问的结果，代入 ，有

    即 (5.11) 的形式。

  1. 假设光在 平面上的传播速度为 ，证明：测地线是抛物线，描绘这些抛物线。

  1. 将 代入广义斯涅尔定律 (5.12)，得

    于是

    说明从点 到点 的测地线上，任一点 处，入射角 满足上述关系式。

    • 当 时，，测地线是与 无关的平行于 轴的直线。
    • 当 时， 为入射角，其正切是斜率 的倒数，那么可以认为 ，于是可得微分方程

    变形得

    通过分离变量，解得

    其中 是积分过程中的常数，与 相关。从上述表达式中可以看出， 与 是二次关系，所以在平面上得到的测地线图像为开口向下，顶点纵坐标为 的抛物线。

    另外，菲涅尔定律中的表达式与 的取值无关，说明 和 的横坐标值变化不会影响测地线的形状。那么抛物线的轴可以位于任意位置。若只考虑以 轴为对称轴的抛物线，则 ，抛物线方程化为

    得到一族以 轴为对称轴，开口向下的抛物线。考虑 为等间隔取样的一组实数，那么随着 的绝对值增加，抛物线族之间的间距会越来越大。

    画图就不了吧，感觉容易画的很乱。

  1. 曳物线的参数化。我们将空间的 坐标系转换成柱面极坐标系，也就是，在 平面建立通常的 极坐标系，再补充 坐标。因此，在柱面极坐标系中的欧几里得度量是 在平面 （也就是 平面）上，设质点在时刻 的位置为 考虑这个质点的轨迹曲线。
  • 证明这条曲线就是曳物线：曲线上每个点沿该点的切线到 轴的距离是固定不变的。这个固定的距离是什么？
  • 证明：这条绕 轴旋转生成的曲面是半径为 1 的伪球面，曲面的度量公式为
  • 利用式 (4.10) 验证 。
  • 证明：如果引入新坐标系 和 ，则曲面的度量公式为标准形式 (5.7)。

  1. 令点 是曲线上的点，则在此点处的切线满足切线方程

    其中

    所以直线方程为 。当 时，直线与 轴的交点 坐标为

    交点坐标为 ，则固定距离 满足：

    所以 ，此长度与参数方程的参数 无关，是固定值。所以曲线满足曳物线性质。

  2. 根据上一问的分析，当 时，曲线上点的坐标为 。那么在曲线绕 轴旋转一周形成的曲面上， 围成半径为 1，位于 平面上的单位圆，此单位圆是伪球面的边缘。伪球面的边缘半径为 1，所以形成的曲面是半径为 1 的伪球面。

    考虑伪球面上的点 ，是曲面正交系。有微小增量 ，则

    大法好

    所以有度量公式

    考虑无穷小增量，则有

  3. 根据公式 (4.10)，有 ，，不妨取 ，，且 ，，有

  4. 引入新的坐标系后，有替换

    代入度量公式，得

    即 ，是符合 (5.7) 的标准形式。

  1. 球面在柱面极坐标系下的面积公式。在上题中引入的柱面极坐标系下，单位球面的北半球的面积元为
  • 通过计算证明这个公式。
  • 利用牛顿最终相等的概念，用几何方法证明这个公式。
  • 用积分计算整个半球面的面积。

  1. 单位球面上的一点 可由柱面极坐标系 描述。在任一经过 轴和点 的平面上，单位北半球面上的点的坐标满足 ，于是有 ， 表示为 。

    圆柱面上所有 恒定的平面与圆的交线是球面的经线，而圆柱面上经过 且垂直 轴的平面与北半球面的交线圆是球面的纬线圆。

    球考虑点 处的微小增量 ，沿着球面纬线圆的增量为

    沿着球面经线的微小增量可参考题目 10 中的阿基米德—兰伯特投影中关于经线的增量部分，取 可得

    所以有球面度量公式

    不妨取

    则有面积元

  2. 几何就不画了吧…… 的示意很简单， 和 知道关系就行，存在三角形相似，即 ，最后还是能得到上述的关系。

    Pic. Exercise 17.2

  3. 显然有

    所以整个半球面的面积为 。

  1. 伪球面具有有限面积。利用式 (5.5) 和式 (4.12) 证明：半径为 的无界伪球面具有有限面积 。

  1. 伪球面的面积元满足公式 (4.12)，即 。而伪球面上的度量公式，根据 (5.5) 可知为

    面积元变为

    即公式 (5.6)。那么伪球面的面积为

    即伪球面的面积为有限值 。

  1. 手工就不做了。
  1. 伪球面上的测地线。
  • 利用贝尔拉特米—庞加莱上半平面，在数学上证明：只有曳物线母线是无限向上延申的测地线。
  • 设 是一条典型的测地线， 是 在伪球面边缘 与曳物线母线的夹角， 是 在伪球面上向上延伸的最大距离。证明：。

  1. 根据 (5.13)，当 时，，只有当 时成立。此时，直线与 轴的夹角恒为 0，形成一条垂直于天际线的半直线。

    当 时，。然而随着 的延申， 值的变化势必会让 逐渐增大，以保持 不发生变化。由于 ，所以 存在极大值 。只要 是有限值，那么 一定是有限值，不能一致持续向上延伸。

    所形成的直线一定是伪球面的曳物线母线。按照参数 的选取方式，其与 轴确定的圆相垂直，形成正交坐标系。在伪球面上，只有曳物线母线会与圆垂直，所以综上所述，只有曳物线母线是无限向上延申的测地线。

  2. 贝尔拉特米—庞加莱平面上的测地线 如图所示 Pic. Exercise 20.2 其中蓝色直线为经过测地线与伪球面边缘的曳物线母线。由于贝尔拉特米—庞加莱平面到伪球面的映射是共形的，曲面上二者的交线夹角必定等于平面上圆在交点处的切线与经过此点的曳物线母线的夹角，即所谓的“入射角”。

    对于 的半圆周，有半径和 的关系如下：

    则显然有 ，此处取伪球面的半径 ，则：

  1. 共形曲率公式。证明：在具有度量 (4.14) 的共形映射的情况下，一般曲率公式 (4.10) 可简化为公式 (4.16).

  1. 如果曲率公式具有 (4.14) 的形式

    则有一般曲率公式 (4.10)

    最后一步用到了 (4.15)，说明 。

  1. 常曲率旋转曲面。想象一个质点以单位速率沿 平面上的一条曲线运动，它在时刻 的位置是 。再想象这个平面绕 轴旋转的角度为 ，当 从 0 到 时，上面所说的曲线生成一个旋转曲面。
  • 解释为什么 ，其中上方的点表示关于时间的导数。
  • 利用几何方法证明：曲面上的度量公式为 。
  • 从式 (4.10) 推导出 。
  • 分别求出三种常曲率 ， 和 情况下的通解 。
  • 借助第一问的结果，求出质点在这三种情况下的速度。
  • 画出上述三种情况的解曲线和由它们旋转生成的曲面，可以利用计算机。特别地，当 时，验证确实得到了图 2-5 所示曲面中的一个。同样，当 时，除了伪球面以外，还有别的曲面，看起来像两个伪球面在狭窄的颈部被粘在一起。

  1. 既然质点以单位速率移动，那么考虑曲线上质点的位置 ，在经过 时间后运动到位置 处，则

    则速度

    根据导数的定义，有

    所以

  2. 考虑曲面上的点 可由 和 唯一确定，即 。由增量 ，那么有沿 增长方向的长度增量 和沿 增长方向的长度增量 ，首先有

    此外，考虑到单位速度，有

    所以

    当增量趋于无穷小时，有

  3. 根据公式 (4.10)，有 ，，不妨取 ，B = y，且 ，，有

  4. 分情况：

    1. 当 时，肯定有 ，得
    2. 当 时，等价于求解 解得
    3. 当 时，等价于求解 解得

  5. 分情况：

    1. 当 时，有 ，根据第 1 问，有 有速度
    2. 当 时，有 ，根据第 1 问，有 有速度
    3. 当 时，有 ，根据第 1 问，有 有速度

  6. 感觉上一问计算的速度对画曲面没啥帮助。首先，位于 平面上的曲线参数方程

    其围绕 轴旋转一周的曲面方程为

    那么：

    1. 时，有 ，可构造旋转曲面的参数方程 基本图像如下，可以看到此参数方程描述的是直纹面，曲面上任意一点处的高斯曲率为 0。

      Pic. Exercise 22.6.1.1

      注意到当取 时得到两段相接的圆柱面，拼合为一个圆柱面。

      Pic. Exercise 22.6.1.2

    2. 时，有 ，可构造旋转曲面的参数方程 （椭圆积分） 基于二阶泰勒展开 ，绘制的图像如下，像多个纺锤首尾相接，和图 2-5 中左图类似。

      Pic. Exercise 22.6.2.1

      使用 scipy 算的曲面如下（不同颜色表示根据 计算的两个曲面支。奇怪的是没有其他支，使用椭圆函数计算的值没覆盖到其他支），随着 的增加，曲面一直在图中的一支来回覆叠。

      Pic. Exercise 22.6.2.2

    3. 时，有 ，可构造旋转曲面的参数方程 （椭圆积分） 基于二阶泰勒展开 ，绘制的图像如下，像两个伪球面尖端相接得到的曲面。

      Pic. Exercise 22.6.3.1

      使用 scipy 算的曲面如下（使用了相同的二阶泰勒展开近似 ）

      Pic. Exercise 22.6.3.2

    说明：虽然但是，除了 的情况下 有解析解外， 的情况 具有特殊函数解，而 的情况 Mathematica 无能为力。我怀疑是自己特殊函数用得不对，但是也不清楚怎么用。 geogebra 的结果都是用二阶泰勒展开近似 ，除了 的情况有较大误差外， 的情况使用泰勒展开近似 的误差很小，在千分之一左右。

  1. 环面的曲率。设 是平面上以点 为圆心，以 为半径的圆周， 是平面上的一条直线，点 到直线 的距离为 ，如下图所示。让圆周 绕直线 旋转生成环面 .
Pic. Exercise 23
  • 设 为图中所示圆周上的旋转角， 为图中所示圆周绕对称轴 的旋转角，利用几何方法证明： 上的度量公式为
  • 利用 (4.10) 证明：环面的曲率为
  • 画出 的图像，再画出 的图像，最后画出 的图像，由此验证这个 的公式与从图 2-2 得到的经验结果一致.
  • 在环面 上的何处 ？利用上述公式验证这个结果.
  • 从上述公式可知 ，给出这个结果的几何解释.
  • 利用式 (4.12) 求出整个环面 的面积.
  • 验证面积公式与帕普斯重心定理是一致的.
  • 证明环面的总曲率为零：

  1. 考虑到圆的旋转对称性以及画图方便，不妨设 是空间立体直角坐标系的原点，圆所在的面为 xOz 面。 是垂直于 轴，与 轴平行的铅直线。令 轴方向为 的方向，则圆的参数方程为 其绕 旋转 得到的曲面参数方程为：

    Geogebra 绘制得到的曲面如下图所示，python 画的好像不能设置三个轴等距，会有变形。 Pic. Exercise 23.1

    对于空间中的参数曲线 ，空间中经过点 的有向直线，单位方向向量 。取曲线 上某一点处的向径 。那么点绕直线旋转 角度的操作需要按照如下顺序完成（采用向径形式可以把位置转换为向量）：

    其中，矩阵 为变换的齐次矩阵，将空间中经过点 的旋转直线移动到原点处：

    矩阵 为空间中向量绕单位方向向量 旋转 的旋转矩阵。根据 Rodrigues’ rotation formula 的矩阵形式，有

    其中

    于是

    但是这并不是齐次矩阵的形式，修改后为

    对于曲面上一点 ，考虑其沿着 和 两个正交方向的增量（geogebra 不能加 符号）：

    Pic. Exercise 11.1_zoom

    则 ，即

    对于 增量，有

    其中 为图中黄色扇形的半径，从图 7-4 中可以看出

    那么

    所以

    当位移趋向于无穷小时，有

  2. 根据式 (4.10)，有 ，，取

    于是

  3. 如图所示

    Pic. Exercise 23.3

    注意到紫色曲线为 的曲线，其 值在 范围内为正，而在 范围内为负值。而在 时曲率为 0。这三类情况别对应了 torus 的外沿、内壁和 torus 的中间平直带，与图 2-2 给出的预测相同。

    可惜不能在 geogebra 上给曲面上颜色。

  4. 令 ，即 只有分母趋向于无穷大才能保证 ，那么 ，有 ，解得 。

  5. 根据公式有 。当 torus 的半径趋向于无穷时，其所在的，垂直于旋转轴，且以旋转轴为圆心轴的的圆面上，半径趋向于无穷大。当旋转半径无限大时，曲率接近于 0，表明曲面的局部区域越接近于平面。

  6. 根据公式 (4.12)，有环面面积

  7. 按照帕普斯重心定理，其计算得到的面积为 母曲线（圆）的长度母曲线重心（圆心）走过的距离 与第 6 问求出的结果一致。

  8. 环面的总曲率

等距变换和复数

  1. 的伸扭。推广图 4-6 中的几何论证，证明 的伸扭由 （这个公式与实函数的导数公式一样）决定。
Pic. Exercise 24

  1. 考虑映射 参考公式 (4.19) 下面的分析，图中以顶点 的白色正方形。映射后的正方形经过点 ，外边对应的辅角为 。扭转的角度为

    扭转

    原像正方形外边对应的圆心角为 ，边长为 。则映射后的外边长度为 ，所以 ，得伸缩量为 。

    所以

    的伸扭伸缩扭转

  1. 贝拉尔特米—庞加莱圆盘的度量。由图 6-4 可知莫比乌斯变换可以将半平面映射呈圆盘。稍后将说明，图 5-12 所示的 的上半平面映射到图 5-11 所示的 圆盘模型的，正是如下这个特定的莫比乌斯变换： 为了推导圆盘模型的度量公式 (5.15)，考虑（在半平面模型中的）从 出发的无穷小向量 被伸扭成（在圆盘模型中）从 出发的无穷小向量 的过程。根据定义，向量 的双曲长度 就是 的双曲长度。证明： 从而证明式 (5.15).

  1. 对于要证明的第二个等号，显然有

    对于第一个等号，首先有

    那么

    此外， 表示圆盘上的无穷小长度元 ，而 表示复数 对应的向量模长，即复数到圆盘圆心的距离，所以有 (5.15)：

    成立。

  1. 贝拉尔特米—庞加莱圆盘的曲率。利用共形曲率公式 (4.16) 证明：图 5-11 所示度量为 (5.15) 的贝拉尔特米—庞加莱圆盘具有常负曲率 。

  1. 根据式 (4.16)，有 ，取

    于是

  1. 黎曼球面的莫比乌斯旋转。黎曼球面的每一个旋转都是形如式 (6.10) 的莫比乌斯变换，我们的目的是要为这个命题提供一个构造性的半几何证明。我们的方法与之前威尔逊发表的方法基本相同。（注意：对应的矩阵群记为 ，这里的 “S” 来自 “special” 的首字母，意思是正规化的，也就是它的行列式等于 1；“U” 来自于 “unitary” 的首字母；“2” 表示 矩阵）。令 表示黎曼球面在 空间中绕正半 轴顺时针旋转 ，所以 。
  • 求群 中表示 的矩阵 。
  • 说明为什么结果 (6.6) 可以表示为
  • 参考式 (4.24)，用图示说明对应于 的复映射是
  • 验证 事实上是莫比乌斯变换。假设它是莫比乌斯变换，猜猜它的形式。用图示验证 ，因此分子一定是 乘以常数。同样，通过寻找旋转到北极的点确定坟墓。这就得到表示 的分式函数。再令 ，确定这个分式函数的常数因子。所以，如果 是莫比乌斯变换，那么它只能是
  • 验证 满足第三问中的恒等式，从而证明它确实具有第四问中的形式。（提示：再第四问中让分子分母同乘 ，但只展开分母的乘法，再分母的计算结果中利用 就得到了第三问中的等式。） 证明：在群 中， 可以表示为
  • 用几何语言解释为什么 ，并用直接计算验证这个等式。 用几何语言解释为什么对于任意角 有 并论证 。 最后，考虑绕任意轴 的一般旋转。先将 旋转到 平面上，再将 旋转到 轴，证明这个旋转可以表示为群 中的矩阵，从而得出结论。

  1. 已知绕 轴顺时针（应该指的是右手系中，向 轴方向看去的旋转方向）旋转 后，得到复数 。考虑 的射影坐标 ，有

    得

    所以

    其中 ，，满足 的矩阵是酉矩阵的要求。

  2. 考虑 的射影坐标 ，有

    得

    所以根据 (6.6) 的描述，有 ：

    然后对于任意非零常数 ，取 ，有

  3. 表示黎曼球面在 空间中绕正半 轴顺时针旋转 。考虑复平面上的点 被映射到球面上的点 。若用 标记点 的空间坐标，则根据 (4.24) 有

    当球面绕正半 轴顺时针旋转 时，考虑经过球面上点 ，且垂直 轴的黎曼球面剖面图：

    Pic. Exercise 27.3

    图中横轴为 轴，纵轴为 轴。注意到旋转前后的坐标映射为：

    即球面上的点 变为 ，则点 的原像 为

    上式就表示在球极投影下，点 经过变换 后的点 的坐标：

  4. 验证嘛。要是真能用 推导出关系还用验证吗。先假设 具有莫比乌斯变换的形式

    其中 ，， 和 都是复数。根据下表的图示，蓝色小球表示 ，红色小球表示 。
    Pic. Exercise 27.4.1 !Pic. Exercise 27.4.1 Pic. Exercise 27.4.3 !Pic. Exercise 27.4.4 !Pic. Exercise 27.4.5

    有映射：

    根据映射 ，可知分子一定为 的常数倍：

    其中 为复数。此外，根据映射 ，可知分母一定满足 ，得 ，所以分母一定为 的常数倍：

    其中 是复数。那么再根据映射 ，得 ，得 ，所以得 的表达式为

  5. 考察表达式

  6. 根据第 5 问，可知 那么 也是满足映射的变换矩阵。因为

    所以

    为了满足 中行列式为 1 的要求，令 ，得 ，所以 可以表示为

    至于为什么选择 而不是 ，题目说了“可以表示为”，那就从可能的两个选择中选择一个就行吧。

  7. 如图所示：

    Pic. Exercise 27.7

    所以 ，蓝色点 经过一次 映射到红色点 ，而红色点经过一次 映射到紫色点 ，等效于蓝色点 经过一次 映射到紫色点 。

    计算验证，考虑表达式

  8. 如图所示

    Pic. Exercise 27.8

    旋转方向均遵从右手螺旋定则。

    要说明 ，需要分别说明 并且 ，首先有

    其次，

    即矩阵 满足 矩阵群的条件，所以 。

  9. 按照问题的描述，绕任意轴 可以经过如下两个流程完成：

    1. 将轴旋转到 平面上
    2. 将轴旋转到 轴

那么利用上一问的描述，令 表示轴 绕 轴旋转到 平面上的轴向角，旋转后的轴为 。 表示将 绕 轴旋转到 轴方向的轴向角，旋转后的轴为 。 表示绕轴的旋转角，那么完整的流程可以描述为复平面上的点 经过如下变换：

即

类似第 8 问，可以证明 和 ，所以 ，证毕。

  1. 在 中的度量。已知 中典型的双曲平面是球心位于天际面的半球面，度量公式可以表示为式 (6.24)。现在探讨度量公式的不同形式。
  • 定义 ，证明：度量公式 (6.24) 变成 并利用式 (4.10) 验证 。
  • 用 定义新自变量 ，证明第一问中的度量公式变为共形的： 并利用式 (4.16) 验证 。
  • 最后，求从 平面到 平面的共形映射，使得第二问中的共形双曲度量公式取标准形式 (5.7)： （提示：令 。）

  1. 首先公式 (6.24) 有

    又

    所以有

    根据公式 (4.10)，有 ，，取

    于是

  2. 令 ，那么有

    所以

    根据式 (4.16)，有 ，取

    于是

  3. 考虑到共形映射 ，即 。根据上一问的结果，有

    令 ，可得

    此外，共形映射要求满足柯西—黎曼方程，即

    所以

    所以有

    得

    即

    不知道满足这个映射的复数形式是啥样的，貌似没有一个 和 的关系。

  1. 在 中的半球面 的曲率。利用曲率公式 (4.10) 证明：在 中，球心位于天际面的半球面按照度量公式 (6.24) 的确是双曲平面 ，也就是具有负的常曲率 。

  1. 对于公式 (6.24)：

    根据公式 (4.10)，有 ，，取

    于是

  1. 极限球面：度量和曲率。已知 中典型的极限球面表现为在天际面 上的球面。参考度量公式 (6.24) 的推导过程，证明：这样一个极限球面的度量公式为 利用曲率公式 (4.10) 验证极限球面的内蕴几何是欧几里得平面：。

  1. 极限球面是 中切触天际面 的欧几里得球面。边界上方的高度相较于半球面增加了一个半径的高度。在球面上建立球面坐标系（经度和纬度），那么基于 (6.23)，有 边界上方的欧几里得高度

    根据公式 (4.10)，有 ，，取

    于是

  1. 中的球面。考虑位于 天际面上方、半径为 ，中心高度为 的欧几里得球面。参考度量公式 (6.24) 的推导过程，证明：这个球面的度量公式为 利用曲率公式 (4.10) 验证正文的论断：如果这个球面完全在天际面的上方（也就是 ），那么这个曲面本质上是真正的球面，具有正的常曲率 。（注意：前面两题的结论分别是本题当 和 时的特殊情况。）

  1. 还是建立球面上的经度和纬度，对于中心距离天际面为 的球面，有 边界上方的欧几里得高度

    根据公式 (4.10)，有 ，，取

    于是

    那么对于 ，球面在天际面上的部分成为正交于天际面 的半球面，其曲率为 ，为 中的伪球面。

    对于 ，球面成为与天际面 切触的极限球面，其曲率为 ，为标准的欧几里得球面。

  1. 极限球面的度量。可以用另一种方法得到题目 30 的结论。定义坐标 满足 证明：极限球面的度量公式可以写成 ，这就是欧几里得平面的极坐标度量公式。

  1. 添加变换后，首先有

    且

    题目给出的信息不足以推导出常数 的值，这里取 。再考虑度量公式：

    边界上方的欧几里得高度

  1. 彭罗斯用复数直接标记光线的方法。在正文中，借助黎曼球面，通过球极平面投影，就可以用复数来标记光线。罗杰·彭罗斯爵士发现了另一种方法，将光线与复数直接关联起来。设点 位于复平面（天际面）的原点正上方一个单位。现在想象，从点 发射一束光，同时复平面 以光速（）向上（沿 的方向）向点 运动。（可以想象整个平面向上飞速运动，产生平面波。）将从点 沿方向 发射出来的光子 的速度分解成垂直和平行于 的分量。求出光子 撞到 的时间。证明光子在点 处撞到 。因此，彭罗斯的构造方法等价于球极平面投影法。

  1. 没说是在双曲空间，那就当欧氏空间处理。对于球心投影，粒子速度 可以分解为平行平面的速度 和垂直于平面的速度 ： 其中 指的是 ，即垂直于平面向上的方向。

    设经过时间 后光子撞击到复平面，则有关系成立： 平面移动的距离光子沿垂直平面方向的移动距离

    正负号取决于光是远离平面移动（）还是朝向平面运动（）。注意如果 ，光和平面都朝向 以光速移动，光永远不会撞击到平面上。

    则：

    解得

    撞击时光的位置为

    所以实现了从光到复平面的一一对应，此方法等价于球极平面投影法。

  1. 爱因斯坦的像差公式。回顾狭义相对论：沿着 轴“上升”产生洛伦兹变换公式，
  • 证明这个变换可以改写成 其中
  • 利用式 (6.19) 证明：这个上升可以用一个旋量变换表示：
  • 因此，这就验证了图 6-5b 和式 (6.21) 声称的结论。
  • 如果在启动宇宙飞船的发动机之前，星星出现的方向为 ，当沿着方向 上升的速度达到 时，星星出现的新方向为 ，满足 1905 年，爱因斯坦发现了这个标准像差公式。
  • 论证星场表现得像要一起聚集到北极，就是朝着前进的方向。
  • 当宇宙飞船的速度接近光速时，星场会发生什么？

  1. 沿着 轴上升时， 和 与速度方向垂直，不会受到速度影响。则

  2. 利用 (6.19)，可知：

    注意到

    所以有 ，上升变换可以表示为旋量变换

  3. 根据第 2 问的结果，可知

    表现为复平面上的原像 到原点的距离被放大，而辅角不变。那么其在黎曼球面上的球极投影 就会沿着经过 的经线向北极移动，表现为如图 6-5b 的形式，也和公式 (6.21) 描述的情形吻合，即 。

  4. 若考虑以天球顶为北极， 的方向为复平面垂直的方向，那么根据球极平面投影公式 (4.26)，星星原本的位置在球极投影上的原像为 上升速度达到 时，星星出现的新方向为

    上升过程不会影响平行于平面方向，所以投影在复平面上的角度 不发生变化，即 。根据 (6.21) 和第三问的结论，有关系 ，则

  5. 星场中每个星星都会在飞船移动的过程中，沿着所在的经线向北极移动，即飞船前进的方向，如第 3 问中的分析。

  6. 当飞船接近光速时，。那么基于第 4 问中的结论，所有星星都会“移动”到飞船移动的正前方。如下表所示：

    低速 高速 近光速
    Pic. Exercise 34.6.1 Pic. Exercise 34.6.2 Pic. Exercise 34.6.3

    然后随着飞船的移动，位于飞船前方的星星会加速向飞船两边移动，并最后以近光速向后移动。

    整个过程如下：

    • 当飞船启动并加速至接近光速的过程中，星星向飞船前方汇集
    • 之后，飞船以近光速移动，此时位于飞船前方的星星会逐步加速后移，直至被飞船以近光速抛在后方。（参考戴森球计划的跃迁过程）。
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