近代欧式几何学

共轴圆与反演

1. 完成书中 、、、、、、、、、、、、 各节省去或仅仅描述的证明。

1. ：

   • 定理：如果点 在圆外，那么 关于这个圆的幂是正的，并且等于 到这圆的切线的平方。如果 在圆上，这幂是零。如果 在圆内，这幂是负的。它可以解释为过 的直径被分成的两条线段的积：，或过 而且垂直于 的弦的一半的平方的相反数。

     如果点 在圆外，那么幂为 ，又过点 到圆切线段的长平方为 ，二者相等。

     如果点 在圆上，那么幂为 。

     如果点 在圆内，如图所示：

     

     那么幂为 。另外构造经过点 且垂直于 的弦 ，根据角度关系可知

2. ：

   • 定理：关于半径为 的定圆，幂为 的点的轨迹是已知圆的同心圆，半径为 ，只要 。

     令定圆的幂为 的点为 ，那么有

     说明点 到圆心 的距离固定为 ，是与定圆同心的圆形。

3. • 问题：作两个圆的根轴：如果两个圆相交，根轴就是过交点的直线。否则，作一个辅助圆，交一圆于 ，，交另一圆于 ，， 与 的交点是三个圆的根心，因而是所求作的根轴上的一个点。用同样的方法可以再求出另一个点。

     对于 和 ，构造辅助圆 与两圆相交，则 和 的根轴、 和 的根轴以及 和 的根轴交于圆 、 和 的根心，说明 和 的根轴经过此根心。

     对于另一个辅助圆 ， 和 的根轴会经过 、 和 三个圆的根心。

     于是两点确定一条直线， 和 的根轴经过两个确定的根心。

4. ：

   • 推论 1：如果 ， 是两个圆的半径， 圆心距，那么两圆正交的条件是 。

     如果 ，那么因为

     所以 ，说明两个圆一定相交。此时交点与两个圆心的连线段，和两个圆的连心线段组成了直角三角形，所以交点与圆心的连线段互为切线，交点处的交角固定为 ，两圆正交。

     

   • 推论 2：已知一圆及圆外一点，以这点为圆心可以作一个圆与已知圆正交，并且也只能作一个这样的圆。

     首先给出作图方法： 1. 构造连心线 2. 构造以连心线为直径的圆 3. 构造以给定点为圆心、经过第二步构造的圆与给定圆的交点的圆，此圆与给定圆正交。

     其次证明只能作出一个这样的圆……其实就是 ，已知 和 的情况下，只能得到一个正数 。

   • 推论 3：过已知圆上任两点可以作一个圆与已知圆正交。

     给定 和圆上任意两点 、，要求作出满足经过 、 两点且与 正交的圆，如图所示：

     

     给出作法，核心是找到推论 1中那个虚线圆，会发现圆心和给定的两点（两圆的交点）都位于虚线圆上：

     1. 构造直线
     2. 构造经过 且垂直于 的直线 ，目标圆的圆心在此直线上
     3. 作经过 、 和 的圆，圆心为线段 的垂直平分线与连心线 的交点
     4. 连心线 与 的另一个不同于 的交点 就是目标圆的圆心
     5. 构造以 为圆心，经过 、 两点的圆即为与 正交的圆。

     如图所示：

     

     证明方法直接了当：三角形 是直角三角形，所以两圆正交。

   • 推论 4：两个正交的圆，一个圆的圆心在另一个圆上，仅当前一个圆为零圆或后一个圆是直线。

     根据两圆正交的条件可知 。那么当 或者 时，有 或者 ，此时一个圆为零圆，到另一个圆圆心的距离等于另一个圆的半径，即此零圆在另一个圆上。

     当圆退化为直线时，退化的圆（直线）经过另一个圆的圆心，交点构成的线段为另一个圆的直径，自然与圆的交角呈 。

5. ：

   • 定理：与两个已知圆都正交的圆，圆心的轨迹是这两个圆的根轴在圆外的部分。

     已知两圆 和 。令圆 是正交于 和 的圆，则有关系：

     于是

     说明圆心 点到 和 的幂相等， 的圆心轨迹在 和 的根轴上。

     如果要形成正交圆，根据关系式 和 可知 到圆心的距离必须不小于圆的半径，即 和 ，说明点 位于两圆根轴位于圆外的部分。

   • 系：三个圆有且仅有一个公共的正交圆，圆心是三个已知圆的根心，只要这点在三个圆外。

     根据本节定理，与三个圆中任意两个圆正交的圆的圆心位于两圆根轴在圆外的部分，那么自然与三个圆都正交的圆的圆心一定是三条根轴的交点，也就是根心。如果此点在任意圆内部，则无法构造与三个圆正交的圆。

   • 系：以两个相交圆公共弦上任意一点为圆心，可以作一个圆，这圆与任一个已知圆的公共弦是它的直径；这弦也是已知圆在这点的最小弦。类似地，如果三个圆的根心在圆内，它们过这点的最小弦是一个圆的直径，这圆的圆心是根心。

     首先证明存在性。对于圆 和 的公共弦 ，其上的一点 一定满足

     且公共弦属于两圆根轴的一部分，所以有

     如图所示：

     

     在图中构造了这样一个圆 ，它的直径是圆 过点 的最短弦。因为 与 相交于直径 ， 两点，于是直径 是 和 根轴的一部分。

     点 是 和 的根轴，与 和 的根轴的交点，所以根据定理，点 是 、 和 的根心，所以 和 的根轴一定经过 和 与 的交点 、，即 、 和 共线，说明 和 的公共弦 是圆 的直径。如图所示：

     

     由于过弦中点的连心线段垂直于弦，所以 ，说明 是经过点 的最短弦。

     经过上述步骤的构造，可得 与 的公共弦是 的直径，也是 经过 的最短弦。同时 与 的公共弦也是 的直径，也是 经过 的最短弦。

     至于反过来，类似上面的思路，两两验证就行，肯定能够说明根心圆以三个圆的公共弦为直径。

     

     还是挺优美的结论。

6. ：

   • 定理：第 I 类的共轴圆组，由所有圆心在一条已知直线上且与一个已知圆（圆心也在这条直线上）正交的圆组成。组中的圆可以这样作出：由连心线上的点向已知圆作切线，再以这点为圆心，切线为半径作圆。再第 I 类共轴圆组中，有两个零圆，即已知圆直径的两个端点 ，。这两点称为这共轴圆组的极限点。

     只需要说明这样作出的圆是共轴圆就行呗，如图所示：

     

     给定定圆 和已知直线 ，在圆 外的直线 上任取一点 ，过 构造 的切线 和 。则以 为圆心，切线段 或 为半径的圆 与 正交。显然所有满足条件的 都是等幂的（都为 ），所以都在一个共轴圆组中。注意到圆 与 的两个交点分别为此共轴圆组的两个极限点。

7. ：

   • 定理：与两个定圆正交的所有圆，成一共轴圆组。

     如图所示：

     

     是与 和 正交的圆，根据定理 ，其圆心一定位于 和 的根轴的部分。这里以两圆相交为例（不相交也无所谓），由于 与两圆正交，有

     其次，由于 在根轴上，有

     根轴与两圆连心线垂直，设根轴与两圆交点为 ，根据勾股定理有

     所以

     又

     所以

     为定值，根据 的定义，圆 对于直线 具有相同的幂 ，说明 是共轴圆组中的任意一个圆，而两圆交点是极限点。

     如果两圆不相交，即两圆不重叠，则不存在极限点。

   • 系：两个定圆确定两个共轴圆组。一个由与两个定圆共轴的所有圆组成。第二个由与两个定圆正交的所有圆组成。任一组中的每一个圆与另一组中的每个圆正交。任一组的根轴是另一组的连心线。如果一组是第 I 类共轴圆，那么另一组是第 II 类，并且前一组的极限点即后一组圆的公共点。如果第一组是第 III 类，那么另一组也是同一类。如果一组是同心圆，那么另一组是线束。最后，这两组圆可以是互相垂直的两组平行线。

     一条一条来：

     1. *两个定圆确定两个共轴圆组。

        一个由与两个定圆共轴的所有圆组成。第二个由与两个定圆正交的所有圆组成。任一组中的每一个圆与另一组中的每个圆正交*。首先，与两个圆共轴的圆形成第一个共轴圆组，轴为两个定圆的根轴。其次，根据 定理，正交于两个圆的所有圆形成一个共轴圆组，且此共轴圆组中的所有圆都与两个圆的共轴圆正交。

     2. 任一组的根轴是另一组的连心线。

        首先，与两个定圆共轴的共轴圆组中的圆，圆心都位于连心线上。那么另一组与两个定圆正交的共轴圆组，根据 定理，可知其圆心都位于两个定圆的根轴上。所以与定圆共轴的共轴圆组的根轴（也就是两个定圆的根轴）是与两个定圆正交的另一组共轴圆组的连心线。类似地，与两个定圆正交的共轴圆组，一定关于两圆的圆心线对称。此时定圆圆心线就是此共轴圆组的对称轴，也是根轴。因为与两圆正交的圆到连心线的幂都为（参考对于第 7 小问 定理证明的图）定值，所以连心线为与定圆垂直的共轴圆组的根轴。

     3. 如果一组是第 I 类共轴圆，那么另一组是第 II 类，并且前一组的极限点即后一组圆的公共点。

        如图所示：

        

        通过计算可知

        同理

        说明 和 的长度与 在根轴上的位置（或者说 无关），那么在根轴上的共轴圆组，都会经过固定点 和 。

        注意到 ，根轴到两个定圆的圆心额幂相等，垂足 到两个交点的距离也相等。

        

        与定圆共轴的共轴圆组中，已知 ， 说明点 和 是共轴圆组的极限点，也是与两圆正交的共轴圆的交点。

     4. 如果第一组是第 III 类，那么另一组也是同一类。如果一组是同心圆，那么另一组是线束。

        如果是第 III 类，说明两个圆都相切于根轴与连心线的交点处。与两个定圆正交的圆的半径，等价于圆心到连心线与根轴交点的距离，由正交的共轴圆圆心都在根轴上，则所有垂直于给定圆的共轴圆组的圆都相切于给定圆的连心线，形成第 III 类共轴圆。

     5. 最后，这两组圆可以是互相垂直的两组平行线。

        这属于特殊情况，是满足条件的。

8. ：

   • 问题：在共轴圆组中，作过一个已知点的圆。

     按照五种共轴圆组分别讨论吧。

     1. 第 I 类共轴圆组，给定定圆和一条经过圆心的直线，在定圆之外的直线上任意取点，目标是得到经过此点、圆心在直线上且与定圆正交的圆。

        首先要明确这样的圆仅有一个。首先共轴圆组互不相交，不存在两个不同且在某点相交的多个圆。其次，如果此点是给定圆的圆心，则经过圆心的极限圆（直线）是唯一满足条件的圆。虽然共轴圆从直线的两个方向逐步趋向于无穷都能经过圆心，但是最终满足条件的极限圆仅有一条直线。

        构造比较复杂，可以先用解析几何的方式算一下。对于第一组共轴圆，令定圆 位于原点处， 轴为共轴圆的圆心连心线， 轴为共轴圆的根轴。对于平面直角坐标系上的任意点 ，待求圆 满足条件：1. 与圆 正交；2. 圆心位于 轴上（因为圆属于共轴圆组）；3. 圆 经过点 。

        所以当圆 与圆 正交时， 的圆心坐标 满足：

        又圆 经过点 ，所以

        首先基于此计算出

        绘制图像进行验证，如图所示：

        

        于是根据表达式，可以得到对应的尺规作图方法。注意到 的横坐标是比例的形式，而且分子表示 ，要直接求比值 比较困难，首先以 为圆心，构造经过点 的圆，将 旋转到 轴上，此圆与 轴交点为 。

        

        于是可以根据勾股定理，构造一个对角线为 的矩形（矩形对角线相等）：

        

        由于 的纵坐标的分母是 ，表示原点到点 在 轴上投影的点距离 2 倍的点，于是作出点 在横轴上的投影 ，以及经过原点的圆 ，与横轴交于两倍于 距离的点 ：

        

        为什么要这么做呢？根据圆幂定理，我们需要找到一个圆，使得 是此圆的切线，且此圆交 轴于 和另一点 ，这样才能满足

        才能推出：

        过点 作垂直于 的垂线，此圆的圆心 一定位于垂线上，且 经过 。于是 就是垂线与 的垂直平分线的交点：

        

        于是 与 轴的另一个交点 就是待求的圆心：

        

        通过 Geogebra 验证，有 与 正交：

        

     2. 第二类共轴圆组，所有的共轴圆都经过两个定点。那么当给定两个定点时，作经过任意点的共轴圆，只需要作三点的外接圆即可。如果给定点与两个定点之一重合，则有无穷多个经过两点的圆满足条件。

     3. 第三类共轴圆组，所有的圆相切于给定直线的定点。那么只需要作定点和给定任意点的垂直平分线，交共轴圆组圆心所在直线，就是待求的圆的圆心。当然如果给定点在切点处，则有无穷多个圆满足条件。

     4. 有一个公共圆心的所有圆，只需要作经过任意点的同心圆即可。

     5. 过同一点的所有直线，只需作过定点和任意点的连线即可。

   • 定理：如果一个圆不属于两个共轭的共轴圆组，那么在每一组中至多有一个圆与这个圆正交。

     书中提示：证明及这圆的作法，根据是如何确定这圆与每一组圆的根心。

     当给定两个共轭的共轴圆组时，任意两个组内圆相互正交。对于任意不属于两个共轭共轴圆组的圆，在任意一组共轴圆中，只存在一不超过一个圆与给定的任意圆正交。还是按照解析几何的方式进行分析：我们以根轴与共轴圆组连心线的交点 为原点，共轴圆组的连心线为 轴，根轴（垂直于连心线）为 轴，则对于共轴圆组中的两个任意圆 和 ，有

     令 ，，则

     先假设圆 与两圆都正交，那么有

     令 ，有

     可得：

     如果 ，说明点 在根轴上。如果当前共轴圆组存在圆与之正交，则圆 一定是共轭共轴圆中的一个成员。

     说明两个圆一定重合。那么如果存在多个圆与给定任意圆重合，则可以证明两两重合从而所有圆都重合。当然如果任意圆与给定正交圆组中不存在正交关系，则回到普通情况。那么如何找到一个共轴圆组中与任意圆正交的圆呢？

     先用解析几何的方式试一下，如图所示：

     

     上图呈现的是第一类共轭共轴圆组，即其中一组是第一类共轴圆（绿色），另一组是第三类共轴圆（紫色）。

     如果 是与第一类共轴圆正交的圆，那么它与 轴的两个交点就是第三类共轴圆的公共点。先确定绿色圆就可以通过根轴确定另一组正交圆中与两个圆正交的根心。

     给定 、，，则首先需要找到绿色圆 ，根据方程关系可以推出：

     那么有了绿色圆 之后，给定的任意圆 与绿色圆的交点连线，与绿色圆的根轴的交点 就是与绿色圆所在的共轴圆组共轭的另一组共轴圆组中，与 和 都正交的圆。

     然而，这样的圆并不总是存在。首先我们要求绿色圆不能位于红色圆内，则一定有

     求解后分别对应四种情况：

     分别对应：

     • ：任意圆 的圆心在第一、三象限（第一类共轴圆组的根轴右侧），且圆心到红圆组右端点 的距离大于半径。
     • ：任意圆 的圆心在第一、三象限（第一类共轴圆组的根轴右侧），且圆心到红圆组左端点 的距离小于半径。
     • ：任意圆 的圆心在第二、四象限（第一类共轴圆组的根轴左侧），且圆心到红圆组左端点 的距离大于半径。
     • ：任意圆 的圆心在第二、四象限（第一类共轴圆组的根轴左侧），且圆心到红圆组右端点 的距离小于半径。

     其实可以通过尺规作图画出这四种情况，但是太过麻烦，我这里就给出第 种情况下的作图法。按照之前 中的作图法，首先可以将 的横坐标拆成两部分，即

     所以直接从 给出的证明开始继续，目前先停止在最后一步之前：

     

     目前 的信息还没有用到，点 的横坐标表示

     

     为了凑出 项，首先按照上图作以 为圆心， 为半径的圆（橙色），与 相较于 点。其次，仿照确定点 的方法，作经过 且垂直于 的垂线，与 的垂直平分线相交于点 （调整过位置）：

     

     过 作经过 和 的圆 ，与 轴的另一交点为 。此时 的坐标为

     然后作出目标圆的圆心。以 为圆心， 为半径作圆，交 轴靠近根轴（ 轴）的交点 为目标圆的圆心：

     

     略去多余辅助线，作经过 且正交于红色圆的共轴圆组中的圆 ，可以验证此圆 正交于任意圆 ：

     

     其他情况较为简单就不赘述了，有了圆 ，则 与 交点的连线与 轴的交点，就是共轭共轴圆组中与之正交的圆，交点就是三个圆的根心。

     目前没有找到统一的、针对四种情况都适用的尺规作图法，有待开发吧。

   • 定理：一般地，在一个共轴圆组中，有两个圆与一条已知直线或一个已知圆相切。

     书中提示：这一作法需要利用共轭组中与这已知直线或已知圆正交的那个圆。

     上一小问已经知道了与给定任意圆正交的共轴圆组中圆的作法。那对于给定点，如何根据这个正交圆，求出与任意圆相切的两个圆呢？

     先给出作图法：首先确认正交的共轴圆组中，与给定圆 正交的圆 （绿色）：

     其次，利用根轴和根心的性质，构造与 和 同时正交的共轭共轴圆组中的圆，即 和 的根轴与共轴圆组的根轴的交点，就是我们要的圆的圆心 。

     

     于是以 为圆心，构造经过 的右极点 的正交圆 。所以 是任意共轴圆组中两圆与 的根心，与 正交的圆一定与 正交。令 与 的交点为 和 ：

     

     下一步就是，作经过 和 的直线，交 轴于 点，绘制经过 点的 ，此圆与 相切，且一定与 正交，从而属于共轴圆组中的一个圆。

     

     类似地，作经过 和 的直线，交 轴于 点，绘制经过 点的 ，此圆与 相切，且此圆一定与 正交，从而属于共轴圆组中的一个圆。

     

     至于为啥正交……以第一个相切圆为例：

     

     相切的原因很简单，圆心距等于各自半径之和。至于为什么正交……先用软件验证一下：

     

     然后观察上图，首先由于 和 正交，则直线 就是 的切线（连心线也是切线）。如果我们标记 与 轴的左焦点为 ，那么有

     所以 是 的切线，说明 经过点 的切线经过圆 的圆心，所以 与 正交，说明 是共轴圆组中的一个成员。

     对于第二类共轴圆组，如图所示：

     

     找到共轴圆上连心线中与给定圆 正交的共轴圆 ，与 交点为 和 ，连线 和 与根轴的交点就是待求的第二类共轴圆中与之相切的共轴圆的圆心 和 。

     圆 和 肯定是与圆 相切的。至于为什么过 的左右两个定点……以圆 为例，如图所示：

     

     有

     说明圆 与 轴的交点 到原点 （也是 ）的距离恒等于红色圆 的半径，是与 的圆心与半径无关的定值。

     对于第三类共轴圆组，首先需要找到共轴圆组中与给定圆正交的圆（这里就略去作图法，考虑 的情况就行，所以不需要额外作矩形了），正交圆的圆心坐标为

     

     与 正交，二者交点的连线交根轴于 点，以 为圆心作经过 点的圆，此圆为与给定第 III 类共轴圆组共轭的第 III 类共轴圆组中，与 正交的圆（不用证明了吧）：

     

     那么 与 的交点 和 ，就是待求的共轴圆组与 相切的切点。作直线 和 分别交共轴圆连心线于 和 点，则以 为圆心且经过 的圆 ，与以 为圆心且经过 的圆 是给定共轴圆组中的两个与 相切的圆：

     

     至于为什么是共轴圆组中的圆，首先 与 肯定和 相切（因为唯一的交点在连心线上）。其次，以 为例，令 与 轴的左交点为 ，则首先有 。其次，则 和 都是 过点 的两条切线段，自然有 。所以 ，说明 到共轴圆根轴的距离等于 的半径，自然相切于根轴，所以是共轴圆组中的一个圆。

     对于第四类共共轴圆组就不用详述了，找到连心线然后作过交点的同心圆就行。

     第五类共轴圆组也不用说了，就是作圆外一点到给定圆的切线。

     至于给定的任意直线与第一类共轴圆组的情况……直接给图就行：

     

     对于第一类共轴圆组，如果给定直线平行于共轴圆组的根轴，找到直线左右两侧相切的共轴圆即可，如果不平行，则找到共轭且正交于直线的共轴圆（紫色圆）。 与给定直线的两个交点的垂线，和交共轴圆组的连心线的交点就是待求共轴圆组中与之相切的圆。

     证明方式和给定任意圆一样，因为直径与 相切，所以满足圆幂定理，可以得到 和 就是圆 的切线，橙色圆与红色圆都正交，是共轴圆组中的圆。

     对于第二类共轴圆组，如图所示：

     

     依旧可以通过切线长度分析：

     说明 与直线 无关，经过固定点 ，是共轴圆中的一个。

     对于第三类共轴圆组，目的就是在连心线上找到与给定任意直线相切的两个圆：

     

     没啥好说的，。

     对于第四类共轴圆组，同心圆中一般只有一个直线相切。

     对于第五类共轴圆组，不好定义所谓“与直线相切的直线”吧。

9. ：

   • 定理：在第 II 类共轴圆组中，每一个圆是对公共弦所张的角为定角的点的轨迹。

     不就是同弦所对的圆周角相等……没啥好证明的呀，先用圆周角定理说明圆周角是圆心角的一半，然后同弦所对的圆心角大小一定相等。

10. ：