可视化微分几何和形式

第三幕习题

平面曲线的曲率

1. 曲率公式的计算证明。图 8-7 提供了式 (8.7) 的一个几何证明。试用计算证明该式。（提示：如果曲线 是质点用单位速率运行的轨迹，则 且 。）

1. 考虑单位速率运动的粒子，其速度为 且 。不使用题目给出的提示也是可以推导的，首先

   其次根据公式 (8.6)，有

   所以有 。

三维空间中的曲线

2. 副法线不能朝运动方向倾斜。利用计算证明：曲线的弗勒内框架 沿曲线移动时，副法相 仅绕 旋转，不会朝 的方向倾斜。（提示：证明 在 的分量为 0，即 。）

1. 根据 ，有

3. 达布向量。当曲线的弗勒内框架沿曲线移动时，它会旋转。利用计算证明：它的瞬时角速度是 这个向量 称为达布向量。提示：利用式 (9.3) 证明

1. 虽然题目描述 是瞬时角速度，但是 Darboux vector 里说 是角动量向量（angular momentum vector），与角动量成正比。不管怎么说，还是按照提示证明等式。考虑叉积：

   至于为什么 是角动量就不解释了，搞不懂。

4. 变速率的弗勒内—塞雷方程。弗勒内—塞雷方程 (9.3) 中的导数是关于弧长求导的，只有当曲线是质点用单位速率运动的轨迹时，才与关于时间的导数相等。现在假设质点的运动速率是可变的：。

• 证明 ：
• 证明加速度是 ，叙述并解释这两项的几何意义。
• 证明 。
• 证明 。
• 证明 。

1. 首先根据 ，有 ，则由于 (9.3) 中的导数是关于弧长的，有

   所以有

2. 首先速度方向一定与 方向相同，则 成立。那么

   其中第一项 表示加速度沿着切线方向的分量 ，其方向与切向 相同，大小等于 ，是匀加速运动的加速度—速度关系。而第二项 表示加速度沿法向量 的分量 ，其方向与法向相同，大小等于 ，正是圆周运动的向心加速度公式。

3. 考虑 ，有

   则

4. 根据第 3 问的计算，有关系式 ，则

   即

5. 根据第 2 问的结论，有

   再根据第三问的结论，有 ，所以

5. 螺旋线。考虑一个质点的运动路径，它在时刻 的位置为 。

• 解释为什么这是一条螺旋线，并说明 、 和 的几何意义和物理意义。
• 证明速率 ，并给出几何解释和物理解释。
• 利用上一个问题的结论计算曲率 和挠率 。
• 给出为什么会有 和 的几何解释。
• 利用第三问验证第四问的结果。

1. 首先考虑质点位置的 轴坐标。在任意时刻 时，质点位于垂直于 轴的平面上。那么以此平面为基准，随着 的变化，质点会在平面上绕 轴做匀速圆周运动。在三维直角坐标系下，质点呈现出“绕 轴匀速旋转的同时向 的正向或负向进动”的运动规律，质点轨迹为螺线。由此可知，质点坐标中的几何意义和参数物理意义分别如下： 如图所示

   

2. 考虑螺线的切线。质点在时刻 的位置为 ，其速度为

   所以 。

   几何意义如图所示：

   

   考虑经过质点且垂直于从质点到 轴的直线的平面，经过质点处的切向量一定位于此平面上。在此平面内的方向向量可以拆分为平行于 平面的水平方向向量 和垂直于 、平行于 轴的竖直方向向量 。

   对于 ，显然有 增加单位长度时， 坐标增加 长度，所以有 。对于 ， 增加单位长度时角度增加 ，质点在 平面上的投影移动弧长为 ，所以有 。根据勾股定理有 。

   从物理的角度触发，同样将 分解为水平速度 和垂直速度 ，质点绕轴旋转的角速度为 ，线速度等于旋转半径乘以角速度，即 。垂直速度和旋转互不干涉，移动速度为 ，所以合成后的速度为 ，。

3. 首先有

   其次

   则

   对于挠率 ，有

4. 为了直观，先给出在点 处的弗勒内框架：

   如图所示：

   

   首先需要明确曲率 表示在点 附近最接近曲线的圆周。那么，当固定其它参数，随着 ，螺线形状如下图所示：

   

   注意到随着 的增加，螺距越来越小，点 局部的曲线越来越接近以 轴为轴心、经过点 的圆周。那么显然可以看出，当 时，描述的圆周将逼近曲线经过点 处的曲率圆。此时有 。

   当固定其他参数，随着 时，螺线形状如下图所示：

   

   注意到 直接影响螺线的螺距。当 足够大时，因为螺距过大， 的微小增长对点 沿 轴变化的影响远大于对点绕 轴旋转的影响。此时螺线在 附近接近于一条直线。此时有 。

   所以有如下的几何直观：

5. 根据表达式求极限即可：

6. 曲线的弗勒内—塞雷逼近。设质点在时刻 的位置为 ，用单位速率在空间运行的轨迹为曲线 。设 、 和 分别是轨迹 在时刻 的弗勒内—塞雷框架、曲率和挠率。

• 利用泰勒定理和弗勒内—塞雷方程 (9.3) 证明质点沿 的运动在刚开始时具有弗勒内逼近：
• 给出前三项的几何解释。
• 在几何上，第四项描述的是什么？
• 根据对第三问的回答，为什么在 时第四项消失了？
• 为什么如果 ，第四项也会消失？

1. 根据泰勒公式，有

   注意质点以单位速率移动，此时 对时间的各阶导数等于对弧长的各阶导数，有

   注意到

   则

   当 时，关于 的高次项的影响小于低次项，则

2. 逐项拆解，首先有第一项 ，表示通过 及其属性逼近点 。当 时， 和 的位置接近。所以第一项表示空间位置上的近似， 近似 。

   第二项 表示从点 触发的切向量方向。如果质点做匀速直线运动，则质点的位置可以由第一项和第二项准确描述，即 。此项说明 在切向量方向上到 的接近程度。

   第三项表示质点 偏离切线 的程度，偏离的方向是造成 发生变化的法线方向 。由于 方向与质点受力相关，所以关于表示质点位置参数 呈二次关系。系数 则表示曲线在点 处的曲率圆半径倒数。所以可以认为第三项表示质点沿曲率圆运动的微小增量。

3. 第四项表示密切平面沿 旋转的程度。质点除了沿 方向的运动和沿 方向的匀速圆周运动外，还有沿自身轴线旋转的运动。如果质点只在平面内运动，其所在的平面就是密切平面，不会产生绕 的旋转运动，此时挠率 。可见第四项表示质点偏离所在密切平面的程度，此“偏离”即旋转，旋转速度为 。

4. 如果 ，表示质点在初始位置 时密切平面不会沿着切向量进行旋转，也就不会有质点偏离所在密切平面的运动趋势，所以第四项对质点位置 的贡献为 0。

5. 如果 ，表示质点在初始位置 的微小时间增量 内做（匀速）直线运动。因为平面的旋转等价于绕质点所在的直线运动轨迹旋转，那么质点的密切平面沿切向量 的旋转等价于沿所在直线轨迹的旋转，旋转分量不会影响质点的空间位置。所以 时第四项也会消失。