可视化微分几何和形式

第四幕习题

外在的构造

1. 球面的测地曲率。在半径为 的球面上，设一个质点以单位速率沿纬度为 的圆周运行。

• 求这个质点的加速度的大小和方向。
• 绘制这个加速度在球面的切平面上的投影，并证明测地曲率为 。
  证明当 和 时这个公式中的 产生了几何上正确的答案。
• 证明这个加速度指向球面中心的分量的大小为 ，与 无关。给出这个现象的几何解释。

1. 当质点（假设为单位质量） 沿球面纬线 进行速度大小为 1 的匀速圆周运动，其运行半径为 。

   

   可知加速度大小为 ，方向垂直指向球面的南北轴方向。

2. 如图所示

   

   图中 是加速度 在切平面上的投影。根据图 11-2 和公式 (11.3)，质点的加速度所对应的曲率向量 可以分解为在切平面上的测地曲率向量 和垂直于切平面的法曲率向量 。所以测地曲率向量的大小为 。

   当 趋近于 0，此时质点趋近于北极点。测地曲率 ，说明质点的测地曲率趋近于无穷大，对应的加速度也趋向于无穷大，法曲率趋近于 0。几何上，当 趋近于 0 时，轨道半径 趋向于 0。为保持速度大小为 1，加速度必须按照 增加。如图所示：

   

   当 趋近于 ，此时质点趋近于赤道。测地曲率 ，说明质点的测地曲率趋近于 0，发曲率趋近于 ，此时加速度在赤道上指向球心。在赤道上按单位速率运行的质点，其加速度与绕球面做匀速圆周运动的加速度一致。几何上，当 趋近于 时，轨道半径趋向于 。此时加速度沿曲面垂直向下指向球心，在切平面上不存在平行的测地加速度。如图所示：

   

   以上极限情况都说明了几何和代数上的一致性。

3. 代数上考虑加速度 沿半径的投影 （图中橙色箭头），其大小为
   

   也好解释，就是法曲率向量的大小。球面上沿法曲率向量的曲率大小就是球面的曲率，为大圆半径的倒数 。

2. 锥面的测地曲率。再考虑第 167 页图 14-3 中半顶角为 的圆锥面。设一个质点以单位速率沿圆锥面上半径为 的水平圆周运行。

• 求这个质点的加速度的大小和方向。
• 绘制这个加速度在圆锥面的切平面上的投影，并证明测地曲率为 。
• 设 为圆锥面上（沿测地线母线）从顶点到这个水平圆周的距离。沿一条母线切开圆锥面，并将它压平在平面上（如图 167 页图 14-3所示），使得这个圆周变成平面上半径为 的圆周的一段弧，所以它在平面内的曲率为 。证明这个曲率等于 。（注意：从内蕴的观点看，这个圆周的半径是多少？如果两只位于圆周上临近两点上的蚂蚁开始沿各种半径，即沿垂直于圆周的测地线母线向内走，它们将在顶点会合，所以内蕴半径就是从顶点到圆周的距离 。因此，这个圆周的曲率的内蕴定义自然就是 ，与前面的定义相同。）
• 设 为质点沿法向量到对称轴的距离，证明加速度沿法向量的分量是 ，并给出几其几何解释。

题目要求考虑母线长度为 1 的圆锥，我感觉暂时不用考虑这个限制。

1. 当质点（假设为单位质量） 沿圆锥面上半径为 的圆周进行速度大小为 1 的匀速圆周运动，可知加速度大小为 ，方向垂直指向圆周母线。

   

2. 考虑如图所示的切平面投影

   

   测地曲率的大小为

3. 从内蕴角度出发，以 为半径的圆，其内蕴的半径为 ，那么展开到平面后的扇形半径为 ，曲率为 。

4. 代数计算上，有
   

   加速度沿 方向的分量为
   

   如图所示：

   

   这一条的几何解释可以参考图 10-4 和式 (10.8)，圆锥作为直线绕轴旋转一周得到的曲面，其第二个主方向为圆锥面内垂直于经过 所在母线的方向。加速度沿法向量的分量为法曲率向量，与曲面第二个主方向的曲率向量同向（第一个主方向为母线方向，曲率为 0），可以认为第二个主方向的曲率就是法曲率向量方向，对应的曲率就是法曲率，大小为 ，曲率半径为 。

3. 接触曲面的测地曲率。设两个曲面在公共曲线 处相切。

• 如果 为一个曲面的测地线，用几何方法解释 也是另一个曲面的测地线。
• 如果 在一个曲面上的测地曲率是 ，用几何方法解释它在另一个曲面上的测地曲率也是 。
• 证明第一问是第二问的一个特例。
• 如果一个曲面是球面，另一个曲面是圆锥面， 是球面的一个纬线圆，利用前两个习题中关于 的公式验证第二问。

1. 可以考虑沿着公共曲线的切向量。根据描述，曲面 和曲面 沿着曲线 相切，而曲线 是曲面 的测地线。

   则根据 (22.5) 的描述，质点在 上以单位速率运动时，任意点处的速度向量都可以通过平移初始速度向量得到。所以移动后的向量都是曲面 在质点处（也在测地线 上的切向量。

   又曲面在测地线 上相切，显然曲面 在质点处的切向量与 相切，自然与 相切。而质点的轨迹也是通过质点沿着切向量移动得到的，即测地线。所以 也是曲面 上的测地线。

2. 首先对于空间曲线 而言，其法向量 的大小与方向在空间中都是确定的，和 属于哪一个曲面无关。

   既然曲面 和曲面 关于曲线 相切，那么在曲线上两任意点处的两个曲面的切平面都重合。

   测地曲率表示曲线法向量在过点切平面上的投影。既然两个曲面的切平面重合，则唯一的曲线法向量在曲面切平面上的投影也唯一。无论对于曲面 还是曲面 ，都有测地曲率为质点处法向量在曲面切平面上的投影。

   即两个曲面在切线 上任意质点处的测地曲率相等。

3. 考虑测地线上的测地曲率为 0，则对于曲面 和曲面 ，如果 是 的测地线，其曲面测地曲率为 0，则根据第二问的结果，对于曲面 ，曲线 在曲面 上的测地曲率也为 0，可得 为 的测地线。即第二问是第一问的特殊情况（）。

4. 虽然是公式验证，但是还得有个图不是。

   

   注意到图中的球面半径为 ，与圆锥面相切于蓝色圆周。

   根据第二题的结果，对于圆锥面，其测地曲率为 。对于球面，其测地曲率为 。此外带入 和 ，以及 和 的关系，有

   说明 在球面和圆锥面的测地曲率大小相等，第 2 问成立。

内蕴的构造

4. 通过内蕴微分求测地曲率。设 是一个可削皮的水果表面， 是 的一条轨迹， 是一个质点以单位速率沿 运行的速度向量场。如果 是起点， 是切平面 的正交基。现在沿 平行移动 $\boldsymbol{e}1\theta\Vert\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{v}$ 之间的夹角。

• 解释为什么这时 $\boldsymbol{e}2K$D{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{e}1 = 0 \Longrightarrow D{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{e}_2 = 0.$$
• 设 是 在切平面 内旋转 生成的单位向量。把 和 写成 $(\boldsymbol{e}1, \boldsymbol{e}2)$\boldsymbol{\kappa}g = D{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{v} = [D{\boldsymbol{v} } \theta\Vert] \boldsymbol{v}^\bot.$$
  于是就证明了式 (23.4)：$\vert \boldsymbol{\kappa}g \vert = \vert D{\boldsymbol{v} } \theta_\Vert \vert$。
• 将包含 的窄带从 上削下来，压平在平面上后，画出草图表示在 上的几个点处的 ，$(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}2)\theta\Vert$。
• 证明 的测地曲率的确是将包含 的窄带压平成的平面曲线的普通曲率。

1. 首先 是切平面的正交基，则 和 在切平面 上的 和 夹角为 。那么根据事实 (22.4) 及其下面描述的反方向情况，移动过程中 和 的夹角保持不变，那么在 沿着质点平行移动的过程中， 也必定在做平行移动。

2. 根据这一问的描述可以发现 和 必定是平行移动到点 后的切平面 上的正交基。

   首先根据 (23.3)，全加速度 可以分解为测地曲率向量 和法曲率向量 ，则

   于是待证明的等式中的第一个等号成立。

   卧槽终于算出来了。假设 和 可以由 表示，则有 ，。其中 和 不是任意常数！实际上随着平行移动的过程， 和 $\boldsymbol{e}1\boldsymbol{e}2D{\boldsymbol{v} } \theta\Vertabt\boldsymbol{v}$

   首先有
   $$
   \begin{aligned}
   D_{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{v} &= D_{\boldsymbol{v} } [a(t) \boldsymbol{e}_1 + b(t) \boldsymbol{e}2] \
   &= D{\boldsymbol{v} } [a(t) \boldsymbol{e}1] + D{\boldsymbol{v} } [b(t) \boldsymbol{e}_2] \
   &= [a’(t) \boldsymbol{e}1 + a(t) D{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{e}_1] + [b’(t) \boldsymbol{e}1 + b(t) D{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{e}_2] \
   &\xlongequal{\text{第一问} } a’(t) \boldsymbol{e}_1 + b’(t) \boldsymbol{e}_2.
   \end{aligned}
   $$

   因为 是 $\boldsymbol{e}1\boldsymbol{v}\boldsymbol{w}\Vert\boldsymbol{v}$

   那么 就是 $\boldsymbol{e}1\boldsymbol{v}$
   \cos \theta\Vert = \boldsymbol{e}_1 \cdot \boldsymbol{v} = \boldsymbol{e}_1 \cdot (a(t) \boldsymbol{e}_1 + b(t) \boldsymbol{e}_2) = a(t).
   $$

   则（不确定内蕴导数 支不支持对于标量函数的求导，默认支持吧）
   $$
   \begin{aligned}
   D_{\boldsymbol{v} } \theta_\Vert &= D_{\boldsymbol{v} } [\arccos(\boldsymbol{w}\Vert \cdot \boldsymbol{v})] \
   &= D{\boldsymbol{v} } [\arccos(a(t))] \
   &= -\frac{1}{\sqrt{1 - a^2(t)} } a’(t) = -\frac{a’(t)}{b(t)}.
   \end{aligned}
   $$

   所以
   $$
   \begin{aligned}
   [D_{\boldsymbol{v} } \theta_\Vert] \boldsymbol{v}^\bot &= -\frac{a’(t)}{b(t)} [-b(t) \boldsymbol{e}_1 + a(t) \boldsymbol{e}_2] \
   &= a’(t) \boldsymbol{e}_1 - \frac{a(t) a’(t)}{\sqrt{1 - a^2(t)} } \boldsymbol{e}_2 \
   &= a’(t) \boldsymbol{e}_1 + \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \sqrt{1 - a^2(t)} \boldsymbol{e}_2 \
   &= a’(t) \boldsymbol{e}_1 + b’(t) \boldsymbol{e}2 = D{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{v}.
   \end{aligned}
   $$

   即待证明项的第二个等式成立。于是得 $\vert \boldsymbol{\kappa}g \vert = \vert D{\boldsymbol{v} } \theta_\Vert \vert$。

3. 基于 22.3 的描述，平行移动就是将果皮平摊后，在平面内平行移动，然后再将果皮贴回曲面。那么在平面内只需对 和 进行平行移动即可。如图所示：

   

4. 将窄带从曲面上压平到平面上的过程中，根据图 22-2 的描述，$\boldsymbol{w}\Vert\boldsymbol{w}\vert \boldsymbol{\kappa}g \vert = \vert D{\boldsymbol{v} } \theta\Vert \vert\theta_\Vert\theta_\Vert = \arccos (\boldsymbol{e}1 \cdot \boldsymbol{v})D{\boldsymbol{v} } \theta_\Vert$ 描画。

   接下来说明平面上的 同样可以描述平面曲线的曲率。首先在平面上，自然有 。摊平到平面上的曲线，其每一点处的 和 都各自平行，构成了平面上的正交坐标系网。根据 (8.4) 的描述， 在平面直角系 上可以看作是关于弧长的曲线。 就是曲线在对应点处的仰角 。那么曲线的曲率为

   证毕。

和乐性

5. 锥面和球面上的和乐性。

• 重新考虑半顶角为 的圆锥面，如第 167 页图 14-3 所示。在那里我们恒明了如果圆锥面的顶端是钝的，利用它的球面像，可以给内蕴圆锥面的尖端赋予一个确定的曲率 ，由式 (14.2) 给出：
  
  在摊平了的圆锥面（如图 14-3 所示）上平行移动，证明和乐性也可以为这个尖突赋予同样的全曲率。
• 在 上，我们计划运用外在的马铃薯削皮器平行移动来求纬度固定在 的纬线圆的和乐性。想象将一个半顶角为 圆锥面罩在球面上，与球面沿这个圆周相切。所以，从球面沿这条圆周削下来的皮（最终）与从圆锥面沿相切的圆周削下来的皮相同。证明 ，利用第一问验证以这个纬线圆为边界的球冠的全曲率的确就是这个纬线圆的和乐性。
• 在 的赤道上，想象一个指向东方的向量。现在验证测地线赤道向东平行移动，使得它回到起点时看起来没有变，即和乐性为零（翻译纯属放屁，原文说的是 vanishing holonomy，意思是和乐性消失了。翻译就直接给人定为 0 了）。但是，这个环路是半球面的边界，具有全曲率 ！利用第二问，通过将 从 0 渐渐增加到 ，解释这两个事实是一致的。

1. 我觉得我对平行移动的理解有误区。根据 (22.3) 描述的事实，沿曲面的平行移动，其实就是在展开平面上沿平面的平行移动，再贴回曲面表面。

   参考 Manfredo P. do Carmo 的曲线与曲面的微分几何中文版 177-178 页的说明，可知在圆锥面上的平行移动，可以在按母线剪开后摊平的扇形边缘上进行平行移动。那么考虑剪开的扇形，从圆弧的起点移动到终点，平移后的矢量相较于移动前有一个大小为扇形圆心角的旋转。

   于是可以在摊平的圆锥上进行平行移动。首先与图 14.3 保持一致，圆锥母线长为 1。如果在圆锥面上的点 处有平行于底面，且相切于与底面等距的圆周的矢量 ，则可以将圆锥面沿 所在母线剪开，并摊平到平面上，如图所示：

   

   如果在平面上，点 按照圆弧走过了圆心角为 的距离，则切向量的扭转角度为 。

   为了计算尖角的全区率，考虑公式 (24.2)，即 区域内的曲率和和乐性相等。考虑图中经过点 的橙色区域的圆弧，两个端点 和 在圆锥面上都表示同一个点 。

   选取初始向量为与圆弧相切的向量。由于摊平操作是共形映射，角度的改变与曲面上角度的改变相等。所以当点 沿着小圆弧（橙色）运行到 时，表明圆锥曲面上点从 绕水平一周回到了 ，向量角度的定向净改变为角度 。所以橙色区域代表的圆锥面的和乐性为 。

   再根据摊平前后的圆锥底面周长不变，可知
   

   可得圆锥顶角的全曲率为
   

2. 如图所示：

   

   显然有 ，即 。

   根据这一问之前的分析，相切部分削的皮相同，那么可以认为向量沿着圆周运动时，旋转角度和在圆锥面上的旋转角相同，和乐性为 。

   根据高斯—博内定理，球冠的全曲率为球冠的面积。根据 99 页第 10 题的第 4 问，有
   

   所以球冠的全曲率和纬线圆的和乐性相等。

3. 当 接近 0 时，球冠近似为一个点，此时环路的全曲率接近 0，因为面积趋近于 0。此外，向量沿边界运行时，向量近乎没有旋转，因为相切的圆锥面的半顶角接近于 ，顶点邻域摊平后近乎平面的圆。在此情况下，满足第二问中计算得到的和乐性等于全曲率的结论。

   当 的过程中，依旧满足第二问计算的结果。环路的全曲率随着 的增加导致球冠面积的增加而变大。但是对应的，相切的圆锥面的半顶角逐渐变小，在摊平的扇形边缘上，向量绕圆周旋转一周的旋转角反之增大。二者在 逐渐变大的过程中保持第二问计算得出的关系，即全曲率等于和乐性。

   

   有组更精细的图，来自 Physics StackExchange:

   在圆还没有称为大圆（测地线之前），随着 的增加，向量的旋转角度只会越来越大（不过图里转反了，按照测地曲率指向圆锥尖端的方向，此时的向量应该和路径的旋转方向一致，即逆时针旋转）：

   

   在 从 0 增长为 的过程中，可以注意到当向量绕圆周运行一圈后，向量的旋转角度接近 。然而此时的 已经不是 时的 了。虽然 之间是平行的，但是切平面同样进行了旋转，导致向量因平行移动发生旋转之后，和沿着测地线运行的结果相同。

   至于 Ex5_3.ggb 的构造，我认为它是对的，但是好像还说明不了为什么按工程项目构造的结果是正确的。总觉得那个角度不太对。

6. 一般的局部高斯—博内定理。

• 通过测地线 边形逼近一个光滑的闭环路 ，然后令 ，证明和乐性公式 (24.6) 为
  
  其中 是沿 的测地曲率， 是沿 的距离。
• 设 是一个闭“多边形”，其外角为 ，但是其边不是测地线（即 ），证明式 (24.6) 可推广为
  
• 设 为 的内部，证明一般的局部高斯—博内定理：
  

1. 考虑测地线多边形 逼近闭合曲线 。则对于测地线多边形，根据 (24.6)，有
   

   为了将 和测地曲率 关联起来，考虑第 4 题的关系式 $\boldsymbol{\kappa}g = [D{\boldsymbol{v} }] \theta_\Vert \boldsymbol{v}^\bot\vert \boldsymbol{\kappa}g \vert = \vert D{\boldsymbol{v} } \theta_\Vert \vert\kappa_g\theta_\Vert\kappa_gS^2C\kappa_gP_mL$ 进行逼近时，对多边形进行测地三角剖分，首先有

   如果我们认为沿着曲线 前进，当测地曲率向量指向曲线左侧时，测地曲率为正，则有曲线环路积分为
   

   其中 表示沿第 条边的 $\boldsymbol{w}\Vert\boldsymbol{v}P_mL$
   \mathcal{R}(L) = \lim{m \to \infty} \mathcal{R}(P_m) = 2\pi - \lim_{m \to \infty} \sum_{i = 1}^m \varphi_i = 2\pi - \oint_L \kappa_g \mathrm{d} s.
   $$

2. 按照前一问的思路，对于边 ，根据式 (26.1)，其和乐性为 $\mathcal{R}U(K_i) = \delta{K_i}(\angle U \boldsymbol{w}\Vert)$
   \delta{K_i}(\angle U \boldsymbol{w}\Vert) = \int{K_i} \theta_\Vert’(s) \mathrm{d} s = \int_{K_i} \kappa_g \mathrm{d} s.
   $$

   另外，在向量平移的过程中，仍然存在第一问所示的，在折线拐点处的角度突变，即外角 。于是移动一周后角度的变化为
   

   所以和乐性为
   

3. 根据书 299 页至 300 页的式 (26.3) 及图 26-3 的多边形剖分。假设曲面上存在一个向量场，但是在多边形 内没有奇点，即 ，。对多边形进行三角网格剖分，不要求三角形边为测地线，则
   

   将多边形内所有三角形的上述等式相加，有
   

   所以
   

曲率是相邻测地线之间的力

7. 明金定理。如果采用与 28.3 节中同样的测地线坐标，则度量公式为
   
   其中 满足
   
   假设当 趋于 0 时 ， 是常数，在如下三种情况下，求解这个微分方程。

• 如果处处都有 ，证明曲面局部与欧几里得平面等距同构。
• 如果整个曲面上 是常数，证明曲面局部与半径为 的球面等距同构。
• 如果整个曲面上 是常数，证明曲面局部与半径为 的伪球面等距同构。

这个翻译真的是有病，题目的翻译和正文的翻译肯定不是同一人。题目里只说了“isometric”，和正文（318 页倒数第二段）的“等距”相对应，到这里就偏要加上一个“同构”，神经。

0. 既然要说明两个曲面在局部等距，应该是要说两个曲面的局部可以形成等距映射，或者一个曲面的局部可以通过等距变换变形到另一个曲面的局部。在书 163 页第一段的描述中，可知刚性曲面的无拉伸连续变形就是等距形变。于是可以给出结论：只要两个曲面的度量具有相同的形式，就可以构造局部的等距映射。

1. 当 时，微分方程变为
   

   求解得 ， 和 都为常数。考虑等价无穷小 ，有 ，，度量公式为
   

   此度量和书 38 页式 (4.4) 下面一段，平面的极坐标系表示的地图的度量公式
   

   具有相同的形式，因而可以构造从曲面到球面的局部等距映射。

2. 当 时，微分方程变为
   

   化为标准形式有
   

   求解得
   

   和 都为常数。考虑等价无穷小 ，有 ，，所以 。度量公式为
   

   此度量和书 38 页式 (4.4) 基于经纬度表示球面地图的度量公式具有相同的形式，因而可以构造从曲面到球面的局部等距映射。

3. 当 时，微分方程变为
   

   化为标准形式有
   

   求解得
   

   和 都为常数。根据 和等价无穷小条件 ，有
   

   解得 ，，所以 。度量公式为
   

   尝试求解对应的参数曲面失败，也算不出这个度量的表达式和伪球面度量表达式之间的关系……但是曲率肯定是 -1 没错。基于度量貌似也不能给出曲面的参数方程，比较尴尬。所以怎么找到从得出曲面到伪球面的等距映射……？如果考虑 ，则度量变为
   

   也和已知的伪球面度量公式扯不上关系。

8. 一般旋转曲面上的雅可比方程。同第 103 页习题 22，想象一个质点以单位速率沿 平面上一条曲线运动，它在时刻 的位置是 。再想象这个平面绕 轴旋转的角度为 ，当 从 0 到 变化时，上面所说的曲线生成一个旋转曲面。

• 解释为什么 ，其中 和 表示关于时间 的导数。
• 利用几何方法证明：曲面上的度量公式为 。
• 考虑相邻两条子午测地线之间的相对加速度，利用雅可比方程 (28.2) 证明 。[即式 (13.4)，之前证明旋转曲面的绝妙定理中得到的结果。]

1. 速单位速率秒了。

2. 之前算过，知道
   

   就行。

3. 任取时刻 时的两条相邻子午测地线（母线，所在轴向面的夹角为 ）之间的距离为 。根据雅可比方程，有
   

9. 通过计算证明高斯引理。考虑在图 28-6 中从点 以单位速率出发的两条相邻的测地线，它们之间的夹角为 ，用 表示它们的速度向量。设 是连接两条测地线的连接向量，它连接测地线上到点 距离相等（都为 ）、都在测地线圆周 上的两点。于是，当 时， 是 的切向量。要证明高斯引理 (28.4)，只需证明 。（注意：下面的 只是 中的普通导数，而不是曲面的内蕴导数 。）

• 解释为什么 。
• 论证：证明了 就能证明 。
• 解释为什么 。
• 解释为什么 。
• 利用 是测地线的速度向量的事实，证明 。
• 结合前三个结果证明
  
  从而完成对高斯引理的计算证明。

1. 直接用图 23-3 说明吧。沿着测地线展开，可以近似认为两条测地线都位于同一平面。假设质点以单位速率移动时间 后分别到达 点和 点，则
   

   且
   

   那么有
   

   所以当 时， 和 都趋近于同一个速度向量 ，则
   

   当 时，。

   所以
   

   即
   

2. 既然有 ，根据方向导数的定义，有
   

   说明在任意小的增量 时，有 不变。考虑从点 出发且经过点 的测地线，则在无数个无穷小的邻域内都有 的值近似相等，那么这些值最终近似等于点 处的值，也即
   

   即说明了 。

3. 可以通过和乐性解释。假设两个向量 和 分别是两条夹角为 的测地线在 处的单位速度向量。那么移动距离 后，分别移动到了 点和 点，形成了曲面上的三角形 。

   当向量 $\boldsymbol{v}1p \leadsto o \leadsto q \leadsto ppp$
   \begin{aligned}
   \mathcal{R}(\triangle{opq}) &= 2\pi - \left[ \oint_{\partial \triangle_{opq} } \kappa_g \mathrm{d} s + \sum_i \varphi_i \right] \
   &= 2\pi - \left[ \int_{po} \kappa_g \mathrm{d} s + \int_{oq} \kappa_g \mathrm{d} s + \int_{qp} \kappa_g \mathrm{d} s + (\pi - \delta \theta) + \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) + \left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) \right] \
   &= \delta \theta - \int_{qp} \kappa_g \mathrm{d} s.
   \end{aligned}
   $$

   当 时，。由于和乐性描述了向量平行移动后的角度变化，有 ，于是
   

   上式中第二个近似等于符号来自于事实 (15.3)，当 时，，有
   

   则根据 320 页第一段的描述，
   

4. 好吧就是李括号：
   $$
   \boldsymbol{[v, \xi]} = \boldsymbol{\nabla}{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{\xi} - \boldsymbol{\nabla}{\boldsymbol{\xi} } \boldsymbol{v} = \nabla_{\boldsymbol{v} } \boldsymbol{\xi} - \nabla_{\boldsymbol{\xi} } \boldsymbol{v}.
   $$

   黑体转正体是因为是曲面的方向导数。参考图 28-2，在 足够小的时候，有：
   

   第二个等式的第二个括号来自于第 311 页图 28-2 下面的分析，近似相等符号在 和 时成立。

   于是有
   

   当 时，有 。

5. 是测地线的速度向量也没什么特殊的，不过是与测地线相切。那么 表示测地线的曲率向量。由于是测地线，曲线的测地曲率为零，所以曲率向量在曲面上只存在法向量分量。那么法向量分量与曲面相垂直，而 一定又位于曲面内（当 时），所以有 成立。

6. 曲面的内蕴导数依赖于方向导数定义，而内蕴导数又可以作用于向量内积（282 页第四个公式），那么一定有
   

   根据第五问，有 。

   根据第四问，有 ，所以有
   

   所以有
   

   再根据第二问，可知有 成立。