可视化微分几何和形式

第五幕的习题

1-形式

1. 狄拉克的德尔塔函数是 1-形式。考虑向量空间 ，它是由定义在 上的无穷次可微的实值函数 组成的。它的对偶空间由称为分布的 1-形式组成。狄拉克的德尔塔函数 就是这样的一个分布，所以它是一个 1-形式。它对于“向量” 的作用定义为 在 处的值：
   

• 对于 中的任意函数 ，记其对应的 1-形式为 ，定义它对向量 的作用为
  
  证明 确实是一个 1-形式。
• 因此狄拉克在定义德尔塔函数时强调
  
  事实上，任何普通的函数都不可能满足这个定义。考虑一个以 为对称中心的光滑钟形曲线，想象它在变得越来越高，越来越窄的同时，始终对 满足 (39.1)：
  
  解释为什么在钟形曲线的宽度趋于零的极限下，我们就得到 (39.1)。

0. 首先理解一下函数 是 1-形式的意思。根据式 (32.1)，如果 作为一个分布是一个 1-形式，那么对于向量空间 中的函数 和 ，以及实数 和 ，有
   

1. 考虑向量空间 中的任意函数 和 以及系数 和 ，有
   

   说明 是一个 1-形式。

2. 钟形曲线的定义域涵盖了 ，但是题目要求 那就局限在此范围内进行说明。题目的描述和狄拉克 delta 函数的描述中的定义 2 一致。令 ，， 是题目中描述的，变得越来越高和窄的钟形曲线，有
   

   成立。如果按照习题 1 所示，选择
   

   作为满足题目的钟形曲线，有
   

   （如果没有 在 的地方函数值为 0 的性质，很难拆分积分区间进行计算（正常逻辑就是展开，然后除去中间项，左右趋向于 的积分项都为 0）。

2. 在 中，给出 1-形式 对向量 的作用 的显式几何解释。

1. 大概这样吧：

   

   根据 410 页的结论，通过叠加三个相互正交的平行平面束构造 ，得到的新平面束如上图所示。平面的法向量为
   

   间隔为

3. 逆变和协变的解释。设 是旋转角为 的旋转变换，则如第 176 页图 15-3 中的解释，其矩阵为
   
   其中 ，。记 为标准正交基， 为将原来的基旋转角度 生成的新基，即 $\tilde{\boldsymbol{e} }j = R\theta \boldsymbol{e}_j$。

• 在同一幅图中同时画出这两个基，同时画出一个一般的向量 $\boldsymbol{v} = v^j \boldsymbol{e}j\tilde{v}^j \tilde{\boldsymbol{e} }j$。用图解释为什么新的分量是通过对原来分量应用相反的旋转矩阵 $[R\theta]^{-1}$ = [R\theta]^{-1} .$$
  因为这个向量的分量是以与基向量变换相反的（“逆”的）方式变化的，所以在年代较远的文献中，称这样的向量为逆变向量，或反变向量。
• 的对偶基是 。设 为一般的 1-形式， 为对偶到 的基，使新的分量为 。证明 1-形式变换的分量与基向量的变换方式相同（是“协”的）：
  $$\begin{bmatrix} \tilde{\varphi}_1 \ \tilde{\varphi}2 \end{bmatrix} = [R\theta] .$$
  因此，1-形式常常称为协变向量，或共变向量。[注意：现代微分几何关注（与坐标无关的）几何对象，这些对象在基变换下不会改变（如本例所示）。出于这个原因，逆变和协变这两个术语在现代文献中已经基本消失了。]

1. 如图所示：

   

   上图中使用 表示 ，用 表示 。

   从图上可以看出，向量 在旋转后的基 上的投影 ，其长度是 在标准正交基 上的投影向量，再在在旋转后的基 上的投影上沿各个基 的分量长度之和。

   首先有
   

   则
   $$
   \tilde{v}^j = \operatorname{Proj}_{\tilde{\boldsymbol{e} }j} \boldsymbol{v} = \operatorname{Proj}{\tilde{\boldsymbol{e} }_j} (v^i \boldsymbol{e}_i) = v^i (\boldsymbol{e}_i \cdot \tilde{\boldsymbol{e}_j}).
   $$

   所以
   

   所以有
   $$
   

   
   

   [R_\theta]^{-1}
   .
   $$

2. 不知道咋搞，从图 32-9 所示的 1-形式中，考虑 的平行线束以及一般向量 ，则
   

   对于旋转后的基底 ${ \tilde{\boldsymbol{e} }_1, \tilde{\boldsymbol{e} }2 }$
   \hat{\tilde{\boldsymbol{n} } } = [R\theta] \hat{\boldsymbol{n} },
   $$

   而平面线束的距离不变，仍旧为 。则
   

   于是取
   

   且
   

   满足线束距离不变的要求。所以变换后的 1-形式的分量满足
   $$
   \begin{bmatrix} \tilde{\varphi}_1 \ \tilde{\varphi}2 \end{bmatrix} = [R\theta] .
   $$

   虽然感觉上这么证不对但是也没想到其他的方法……实在是没搞懂标准正交基和旋转后的基各自的 1-形式之间的潜在关系是啥。

4. 矩阵乘法。在矩阵代数中，一个矩阵作用于另一个矩阵，就产生了矩阵的乘法。证明矩阵的乘法是一个 阶的张量。（提示：每个矩阵本身就是一个 阶的张量，见 33.2 节。）

1. 翻了 Geometrical methods of mathematical physics（Schutz 1980），在 58 页对张量的介绍中，有个练习：

   Exercise 2.4

   A linear（`active’） transformation in matrix algebra（e.g. an orthigonal rotation） transforms one matrix into another. Show that it is therefore a (2, 2) tensor when operating on matrices.

   翻译过来就是：矩阵代数中的一个线性（主动）变换（例如正交旋转变换）把一个矩阵变换为另一个矩阵。证明这个（应该指的是线性变换）作用在矩阵上时，是一个 阶张量。

   我感觉这个题目应该是从这个练习改编的。那么题目的意思应该是说，作用于矩阵的线性变换是 阶张量。

   题目的翻译也有点问题，啥叫矩阵的乘法是一个 张量，英文原文的意思是矩阵代数中一个矩阵对另一个矩阵的作用，得到矩阵的乘积，是一个 阶张量。

   我是不把问题想复杂了……按照这个回答的描述，矩阵的线性变换接受一个矩阵（ 阶张量），得到变换后的矩阵（ 阶张量），向量内积可以推广到矩阵乘积，那么矩阵对矩阵的作用就可以认为是张量 ，此张量在接收一个矩阵后，仍旧需要一个 1-形式和一个向量才能得到标量。所以矩阵乘积代表的线性变换就是 阶张量（这不算证明吧，很奇怪）。

   补充：Schutz 关于本题目的解答是：每个矩阵都是一个 张量，需要一个向量和一个 1-形式以得到一个标量。因为题目包含了两个矩阵，则带有两个向量和两个 1-形式的线性变换，可以得到一个数字。再验证一下线性性质就行。

5. 张量的缩并。对一个 阶张量 所有可能配对的指标做缩并，一功能生成多少个不同的 阶的张量？再对这些张量做第二次缩并，可以产生多少个 阶的张量（即向量）？

1. 33.7 节介绍的张量的缩并，是选取一对上下标进行缩并。

2. 既然缩并是将一个上标和一个下标加起来，则可能的上下标配对为：
   

   共六种。缩并后得到的 阶张量的各自分量为
   $$
   \begin{aligned}
   i &\longleftrightarrow l & &\Longrightarrow & {Q^{ijk} }_{im} &= {A^{jk} }m, \
   i &\longleftrightarrow m & &\Longrightarrow & {Q^{ijk} }{li} &= {B^{jk} }l, \
   j &\longleftrightarrow l & &\Longrightarrow & {Q^{ijk} }{jm} &= {C^{ik} }m, \
   j &\longleftrightarrow m & &\Longrightarrow & {Q^{ijk} }{lj} &= {D^{ik} }l, \
   k &\longleftrightarrow l & &\Longrightarrow & {Q^{ijk} }{km} &= {E^{ij} }m, \
   k &\longleftrightarrow m & &\Longrightarrow & {Q^{ijk} }{lk} &= {F^{ij} }_l.
   \end{aligned}
   $$

3. 缩并一个指标后得到的 阶张量再任选一对指标进行缩并：
   

   这么看下来能够选择的搭配仍然是 6 对。

6. 将矩阵乘法看作张量的缩并。参考 33.2 节和 33.6 节，设 是一个线性变换，表示为一个阶为 的向量值张量函数：。设 是另一个线性变换， 是这两个线性变换的复合变换：。证明： 是一个 阶张量，其分量为缩并（也称为矩阵乘法）：。

1. 首先，因为 和 都是接受一个向量，得到一个向量的 阶张量， 肯定也是接受一个向量，得到一个向量的 阶张量。验证 作为张量的线性性质，如果 和 是任意常数， 和 是任意向量，那么有
   

2. 其次考察 的分量。已知 张量作用于向量时有
   

   上式用到了笛卡尔基的性质：
   

   则
   

   其中上式倒数第二个等号如下：
   

   所以
   

2-形式

7. 在 内的因式分解。设 设 内的一般 2-形式。证明 总是能因式分成称两个 1-形式的楔积：。

1. 基于基底表示的 2-形式 为
   

   与之对应的向量为 。

   考虑两个 1-形式 和 ，基底形式为
   

   则
   

   为了让 和 相等，令
   
   即可。

8. 在 内都能因式分解吗？ 设 是 内的一般 2-形式。

• 证明 不是总能分解成两个 1-形式的楔积。提示：如果它能因式分解，考虑 ，再看看 35.7 节。
• 如果 ，证明这时 可以因式分解成两个 1-形式的楔积。
• 证明 总能表示成两个楔积的和：
  

1. 根据题意，我们假设 可以分解成两个1-形式的楔积，即 。考虑 ：
   

   根据 35.7 节的描述， 是偶数次的 2-形式， 可以不为 0。如果 ，则给出的假设不成立，说明 不总是可以分解成两个 1-形式的楔积。

2. 令 为 中的基底 2-形式：
   

   则
   

   设 中的两个 1-形式分别为
   

   则
   

   则可取（上面那段推导没用）
   

   且满足
   

   显然有 。此时 2-形式可以用两个 1-形式的楔积表示，即 。

3. 令 为 中的基底 2-形式：
   

   设 中的四个 1-形式分别为
   

   且

   所以
   

   令
   

   即可满足要求，且：
   

   两式不保证相等，涵盖了 的场景。