近代欧式几何学

引论

1. 证明三角形三边的垂直平分线交于一点；角平分线、中线、高也都是这样。
2. 在一个半径为 3 的圆内：
   • 作一个三角形 ，它的边 与 到圆心的距离分别为 和 。这是一个不等边的三角形。
   • 用三角板作出圆心 到三边的垂线 ，，。
   • 作高 ，， 并定出它们的交点 。
   • 找出中线 ，， 的交点 。
   • 延长 ，， 交圆于 ，，；
   • 作角平分线 ，，，从而求出内心 ，作出内切圆。
   • 求出过 ，， 的圆的圆心；作出这个圆。
3. 证明下述三角形定理：
   • 。
   • 。（正弦定理）
   • 。（余弦定理）
   • 。
   • 。
   • 。
   • 。

1. 先考虑非退化的情形，即三角形不存在三点共线。

   1. 垂直平分线：对于三角形 ，构造边 的垂直平分线（黄色）和 的垂直平分线（紫色）如图所示：

      

      根据垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）有 ，所以三角形 为等腰三角形。所以其顶点 一定位于底边 的垂直平分线上，即点 为三角形 三条边的垂直平分线的交点。

   2. 角平分线：对于三角形 ，构造角 的角平分线和角 的角平分线，两条直线相较于点 。再构造从 到三角形 三边的垂线段，如图所示：

      

      根据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边的距离相等）有 ，所以点 到三角形 的边 和 的距离相等，所以点 一定在角 的角平分线上，即 是三角形 三个角的角平分的交点。

   3. 中线：对于三角形 ，构造角 对应的中线交边 于 点，构造角 对应的中线交边 于 点。两条中线相交于 点。射线 交 于 点，如图所示：

      

      现证明点 是边 的中点，连接 交射线 于点 ，如图所示：

      

      可知线段 所在的直线是 的中位线，有 ，。

      考虑图中的三角形：

      

      根据中位线的性质和 ，有 。又 ，所以 。

      又 ，所以 ，即 。

      因为 ，所以 ，即 是 的边 的中点。所以 的三条中线交于一点。

   4. 高：对于 ，分别构造经过顶点 的垂线，垂足为 ，构造经过顶点 的垂线，垂足为 ，两条垂线的交点为 。令构造经过顶点 的射线。采用反证法，如图所示：

      

      令 为三角形 经过点 的高（即 ），但是假设 与先前构造的两条高分别相交于不同于点 之外的点 和点 。

      因为 和 共用 ，有 ，即 。

      又 和 共用 ，所以 ，即 。

      又 和 共用 ，所以 。

      所以

      同理可得 ，，，，即 ，说明点 、 和点 是同一点，产生了矛盾。所以假设错误， 的三条高交于一点。

2. 这里还是用 tikz 画吧，比较精确：

   

3. 证明三角形定理：

   1. ： 根据高的定义和三角函数定义即可证明：

      

   2. 以 为例：

      

      构造从 出发经过外接圆圆心 的射线，交外接圆于 点，连接 ，则根据圆周角定理，有 。同时角 是直径所对的圆周角，有 。所以根据三角函数定义，有

      其他关系同理。

   3. 可以利用正弦定理证明，首先在三角形内有 ，所以

      于是

      代入正弦定理有

      得

   4. 根据三角形面积的定义有 ，再根据三角函数定义有 。代入正弦定理的关系有 ，再用正弦定理带回有 。

      最后一个等式可以考虑如图所示的方式，内切圆圆心 与 的连线

      

      显然有

   5. 和

   6. 一起证明吧，主要把 挪到左边就是第四问里的第一个等式了。

   7. 分析一下：