近代欧式几何学

相似形

证明：如果两个图形逆相似，那么两条对应线的夹角的平分线，与两条固定直线（即相似轴）平行。

证明并推广下面的结论：两次连续的反射等同于关于两条轴的交点的一次旋转。旋转角是什么？能否选择两条轴，使得两次连续的反射等同于一个给定的旋转？

证明第二章未证或未全证的命题： $§$ ， $§$ ， $§$ ， $§$ （定理与两个系）， $§$ ， $§$ （四个定理）， $§$ .

只能从逆相似形的定义出发了。如果两个图形是逆相似的，那么必存在两条互相垂直的相似轴，交点为相似中心。一个图形关于其中任一条轴反射，再关于这中心作转缩，就可以与另一个图形重合。

分析了一通感觉有点问题，翻转后的图形绕某一点的转缩会修改角平分线的方向，按理说就和一开始的对称轴不平行了才对……

根据参考资料（Lachlan 的 Modern Pure Geometry）可知从一个图形到它的逆相似形的变换可以没有旋转的操作。那就说得通了。
旋转角应该是两条直线的夹角的 2 倍。感觉只有选择两条重合的轴才行吧。
一个个证明吧：
1. $§$ ：
  - 定理：联结一个定点与一个圆上各点的线段，它们的中点的轨迹是另一个圆，半径为已知圆的一半。两圆对应的半径互相平行，过对应点的切线也互相平行。
    
    先证明轨迹是一个圆，令是任意圆上一点，定点。如果与圆心重合，那么线段的中点到的长度固定为圆半径的一半，中点的轨迹自然是一个圆。
    
    如果是不同于的点，那么构造如图所示的直线和连心线：
    
    直线交圆于、点，线段和的中点分别为和。可知线段中点的轨迹一定经过和两点。
    
    所以对于任意圆上的位置，线段的中点与、的连线和一定分别平行于和（中位线，也是共用顶角的相似三角形），当然有。说明一定在以为直径的圆上。
    
    点在圆内的情况类似，如图所示：
2. $§$ ：
  - 定理：如果点在图形所在平面外，线段，，，被分成定比，分点为，，，，那么点，，，在与平面平行的平面上，并且图形与图形相似。反过来，任一个与已知平面平行的平面与射线，，，相截，得到的图形与已知图形相似。还有，如果两个相似形分别在两个平行平面上，并且对应边平行，那么对应点的连线必交于同一点。
    
    立体几何嘛。拿两个三角形和为例。定比分点会得到两个平行于所在平面的直线和，确定了一个平行于所在平面的新平面。且两个三角形的边长之比都为，所以三角形相似于。
    
    用平面去截得到的线段也是平行的，因为以平面为例，与两个平面的交线和肯定是平行的（空间平行线判定）。同样和也是平行的。所以三角形相似、图形相似。
    
    第三点也是类似，如果一样大的话，对应点的连线互相平行（因为与平行，所以四个点一定在平面上。又在平面内平行且等于，所以是平行四边形，平行且等于），交点在无穷远处的直线上。如果不一样大，令和的交点为，那么因为相似图形的边长比例相同，有。又平行于，，所以三角形与相似，可得。至于为什么的延长线一定是而不是其他点，因为三角形与相似，，说明和是同一条直线。如此下去就可以说明所有对应点的连线都经过。
3. $§$ ：
  - 定理：如果两个图形相似，并且对应边平行，那么它们一定位似，即必有一位似中心，所有对应点的连线都通过这点。
    
    论证过程类似上一问的最后一种情况，首先根据平行关系和角度一样可以推出三角形相似，边长具有相同的相似比。然后就可以从一个边和组成的三角形出发，论证所有对应点的连线都经过。
4. $§$ ：
  - 定理：如果在两个不同心的圆内，作平行且方向相同的半径，那么联结半径端点的直线通过连心线上的一个固定点，这点将连心线外分为两段，它们的比等于两圆半径的比。如果作方向相反的平行半径，那么半径端点的连线通过连心线上一个固定点，这点将连心线内分为两段，它们的比等于两圆半径的比。
    
    这两点通过相似三角形对应边成比例就能得到，如图所示：
    
    在拖动的过程中点和的位置保持不变。
  - 系：如果两个圆有外公切线，那么外公切线必通过外相似中心；如果两个圆有内公切线，那么内公切线必通过内相似中心。
    
    拖动的位置直到与半径垂直，此时且，是两圆的外公切线。根据相似性，与连心线交点的位置，已经由直角三角形的相似边确定，满足，与任意位置时的点相同，为外位似中心。
    
    内公切线同理，点为内位似中心。
  - 系：如果两个圆相交，那么交点与位似中心的连线平分过交点的两圆半径所成的角。
    
    如图所示：
    
    使用三角形的角平分线逆判定定理（作个平行线算一下边长比例就能证明），因为，所以为的角平分线。
5. $§$ ：
  - 系：联结两个逆对应点的直线，在这两点处的切线，组成等腰三角形。反过来，如果从圆外一点向两圆所作切线相等，那么切点是逆对应点。如图所示：
    
    第一点如图所示就可以说明，通过平行和垂直可知，所以。
    
    反过来的话同样能够通过角度关系，推出切点连线与圆的交点所存在的逆对应点关系（即存在一对圆心和交点的连线所形成的半径平行）。
6. $§$ ：
  - 定理：如果一个三角形的形状固定，一个顶点固定，第二个顶点走过一个图形，那么第三个顶点走过一个相似的图形，固定的顶点是相似中心。
    
    以三角形举例吧……
    
    其中红色、绿色和黄色的三角形是移动的三角形，大三角形是原始三角形，小三角形是另一个不围绕原图形移动的顶点的轨迹构成的三角形。
    
    容易看出除了红色、绿色和黄色三角形是相似三角形外，、、。
    
    分析一下边的关系：
    
    即
    
    说明两个蓝色三角形相似，是相似中心。
  - 定理：如果两个顺相似图形内接于同一个圆，那么这两个图形全等，相似中心就是圆心。
    
    这个好像有点难哦……对于三角形来说还是比较容易的，因为根据正弦定理，两个图形相似表示对应角相等，而圆周角相等的弦长也相等，能够得出对应边相等，所以两个三角形全等。
    
    既然是两个全等的三角形，则从一个图形变换到另一个图形的操作只有旋转、平移和翻转三种方式。其中平移操作会导致两个图形的外接圆分离。那么对于旋转和翻转，公共圆的圆心都是位似中心。
    
    对于任意图形，可以将其位于外接圆上的顶点子集选择出，并首先划分为多个三角形（保证两个图形的划分方式相同，因为相似，总能找到对应的划分方式），再划分其余不在圆周上的顶点。可以证明在圆周上的顶点的三角形的全等性质，其余不在圆周上的三角形，可以通过平移使得对应的三角形外接圆重合，从而证明全等性质。
    
    分析任意图形的位似中心，等价于分析图形一部分的位似中心。证明划分中存在一对对应三角形的位似中心是圆心即可。
  - 定理：如果一个三角形的顶点是另一个三角形三边的中点，那么两个三角形相似，相似比为，相似中心是后一个三角形的重心。
    
    如图所示，构造的中点三角形：
    
    根据三角形中位线的性质，根据平行线可以推出：
    
    根据 $§$ 定理，两个三角形的对应边互相平行，定比，所以相似比为。再根据 $§$ 定理，对应边平行的图形必有位似中心，对应点的连线（也就是的中线）必经过位似中心（即和的重心）。
  - 系：上一个定理中，小三角形的三条高相交于大三角形的外心，由此可以导出什么结果？
    
    先做个图：
    
    emmmm 大三角形的重心是大小三角形垂心连线的 2/3 分点？不知道想问啥……
7. $§$ ：
  - 定理：已知两个对称形在同一平面，那么必有一条确定的轴，使得每一个图形关于这轴反射后，再接合一个平移，便与另一个图形重合。
    
    参考 Lachlan 的 Modern Pure Geometry 133-134 页，从操作 211 可知这轴一定存在。
  - 定理：如果两个图形逆相似，但不一样大，那么必存在两条互相垂直的直线，称为相似轴，它们的交点为相似中心。如果一个图形关于其中任一条轴反射，再关于这中心作转缩，就可以与另一个图形重合。
    
    还是仿照上一问的参考资料，首先第一条直线肯定能找到，位似中心也是图中表示的那个点，那么经过点且垂直于轴的直线就是另一条相似轴。三角形通过这条相似轴进行翻转、旋转后再放缩就可以变成另外一个三角形。

近代欧氏几何学（第二章习题）

近代欧式几何学

相似形