近代欧式几何学

三角形及多边形

  1. 对本章中证明完全略去或部分略去的命题，即 §，§，§，§，§，§（包括系），§，§，§，§（包括系），§，§，§，§，给出完整的证明。

三角形中的比

没让证明 § 还是证一下好了，毕竟系没证。

  1. §：

    • 定理【已在文中证明】：设 是三角形 的边 上一个不同于 的点，如图所示：
    Pic S84 1.1.1

    则

    • 系：设 与 使角 与 相等，则

      直接用 § 定理试一下，如图所示：

      Pic Exercise 1.2.1

      可得

      所以

      证毕。

  2. §：

    • 定理：设 ， 和 分别在三角形 的边 ， 和 上，则

      即三角形的边被分成的比的乘积，等于相对顶点对各线段所成张角的正弦的比对应的乘积。

      如图所示：

      Pic Exercise 2.1.1

      基于 § 定理有

      三式相乘得到

  3. §：

    • 定理：设 ， 为 上的任两点，它们分 的比的比——复比，等于 的张角的正弦的对应的复比，即

      如图所示：

      Pic Exercise 3.1.1

      根据 § 定理有

      自然有

      成立。

    • 定理：设三条直线相遇于 ，被一条直线截于 ，，，被另一条直线截于 ，，，则

      如图所示：

      Pic Exercise 3.2.1

      首先根据 § 定理，在 和 中，有

      所以

  4. §：

    • 定理：设四条直线共点，被一条直线截于 ，， 和 ，被另一条截于 ，， 和 ，则

      如图所示：

      Pic Exercise 4.1.1

      根据 § 的复比定义，可知

      考虑到对顶角相等，自然有

托勒密定理

  1. §：

    • 定理 a：注意在半径为 的圆中，圆心角 所对的弦长为 ，于是三角中的加法可以由托勒密定理立即推出

      如图所示：

      Pic Exercise 5.1.1

      其中 是 与 的另外一个交点。根据图中显示的内容，有如下关系：

      所以根据托勒密定理，有

    • 定理 b：如果 是等边三角形， 在过 ， 和 的圆弧 上，那么

      这个定理只有 位于经过 ， 和 的圆中 的优弧上才成立。如图所示：

      Pic Exercise 5.2.1

      根据托勒密定理，有

      然而 ，所以化简得

    • 定理 c：如果 在 的等腰三角形 的外接圆的弧 上，那么 （为定比）

      这个定理只有 位于经过 ， 和 的圆中 的劣弧上才成立。如图所示：

      Pic Exercise 5.3.1

      根据托勒密定理，有

      又等腰三角形有 ，所以

    • 定理 d：如果 在正方形 的外接圆的弧 上，那么

      这个定理只有 位于正方形 的外接圆中 的劣弧上才成立。如图所示：

      Pic Exercise 5.4.1

      根据托勒密定理，对于四边形 和四边形 ，有

      由于正方形 有 ，，则

      所以

    • 定理 e：如果 在正六边形 的外接圆的弧 上，那么

      注意到待证等式的两端，对应了圆内接四边形的四条边和对角线。等式一边是四条边，另一边是对角线。首先如图所示：

      Pic Exercise 5.5.1

      如果令正六边形的边长为 ，则在四边形 和 中，根据托勒密定理，分别有

      两式相加得到

      又在四边形 和 中，根据托勒密定理，分别有 ，

      两式相加得到：

      所以

    • 定理 f：如果 在正五边形 的外接圆的弧 上，那么

      如图所示：

      Pic Exercise 5.6.1

      如果令正五边形的边长为 ，则正五边形的宽是边长的 倍。根据托勒密定理，对于四边形 和 中，有

      两式相加得到：

      在四边形 中，根据托勒密定理有

      于是

  2. §：

    • 定理：对任意四点 ，， 和 ，有

      按照书中给的方法证明吧……首先对于平面上的点 ， 和 ，其关于 的反演分别为 ， 和 ，如图所示：

      Pic Exercise 6.1.1

      根据余弦定理，有

      然后根据 § 定理，有

      根据反演的定义，有 ，则

      代入余弦定理关系式得

  3. §：

    • 定理：三角形两边的平方和，等于第三条边平方的一半，加上第三条边上中线平方的两倍，即

      如图所示：

      Pic Exercise 7.1.1

      在 和 中分别应用余弦定理，有

      两式相加得到

    • 推论 a：中线的长由公式

      给出。

      根据 § 定理可直接推出。

    • 推论 b：

      针对三条中线分别调用 § 定理有

      三式相加得到

    • 推论 c：

      如图所示：

      Pic Exercise 7.4.1

      首先，重心将中线内比分为 2，则：

  4. §：

    • 定理【已在文中证明】：到两个定点的距离的平方和为定值的点的轨迹，是一个圆，圆心是联结两个定点的线段的中点。

    • 定理【已在文中证明】：简单四边形中，四条边的平方和，等于对角线的平方和，加上对角线中点连线平方的四倍。

    • 系：在平行四边形中，边的平方和等于对角线的平方和；反过来，如果一个四边形具有这一性质，那么它一定是平行四边形。

      由于平行四边形的对角线相互平分，所以对角线的中点重合。根据 § 定理，平行四边形边的平方和等于对角线的平方和。

      如果四边形满足边的平方和等于对角线的平方和，那么根据 § 定理，对角线中点连线平方的四倍是 0，说明对角线中点连线的长度为 0，说明对角线的中点为同一点，即对角线互相平分，即四边形为平行四边形。

    • 定理：在完全四角形中，任两条对边的平方和，加上它们中点连线平方的四倍，等于其他四条边的平方和。

      如图所示，构造各种辅助线：

      Pic Exercise 8.4.1

      首先，根据三角形中位线的性质，可知四边形 、、 都是平行四边形，所以线段 、 和 互相垂直平分。

      只证明一对关系就行，其他类似。首先有

      又

      相加得到

      所以

      其它对边的关系式的证明方式同理。

    • 定理：完全四角形的六条边的平方和，等于三条对边中点连线的平方和的四倍。

      根据上一条，有三个等式：

      三式相加并消去同类项得

  5. §：

    • 定理：三角形两边的平方差，等于第三边与它的中线在它上面的射影的积的两倍，即

      如图所示：

      Pic Exercise 9.1.1

      分别列出余弦定理：

      两式相减得到

    • 系：附上适当的符号，有

      利用上一条结论分别列出表达式，相加可得三角形边长的平方项互相抵消。

    • 系：设 为三角形的边 与它的中线所成的角，则

      因此

      证明第一个式子就可以了。根据本节的结论，有

      至于第二个结论，分别列出等式然后相加，对应项会消除，最后得到 0。

  6. §：

  • 定理：三角形内角平分线的平方，等于两条邻边的乘积，减去对边被角平分线分成的两条线段的积。

    我去这个这么难证吗……感谢 DeepSeek。如图所示，令 ，：

    Pic Exercise 10.1.1

    根据角平分线性质有

    又 ，可得

    因为 是角平分线，，根据余弦定理有

    相等并化简得

    如果 ，说明 是个等腰三角形，待证结论自然满足。否则两边同时除 有

    将 和 的表达式代入有

    搞错了，应该令 ，则

    所以

    证毕。

  • 系：角 的平分线的长由

    给出。

    已经在上一节给出证明了。

  1. §：

  • 定理：三角形两边的积，等于第三边上的高与外接圆内径的积。

    如图所示：

    Pic Exercise 11.1.1

    连接 可得 ，所以 ，即

  • 系：，又

    代入就行了，继续。

  • 定理：如果从圆上一点 作两条弦，那么它们的积等于圆的直径乘以 到两弦端点连线的垂线。

    两弦的非公共端点连成线段组成三角形。继续。

  • 定理：从圆上一点到一条固定弦的距离，乘以圆的直径，等于这点到固定弦两端的距离的积。

    连接圆上一点到固定弦的两端组成三角形。继续。

  • 定理：圆上两个点的距离，是圆的直径与其中任一点到圆在另一点切线的垂线的比例中项。

    如图所示：

    Pic Exercise 11.5.1

    已知 ，，，所以 。又 所以 ，则 ，所以

    即 是如题目所说的比例中项。

  • 定理：对圆上四点作出六条连线，形成三对对边，则对圆上任一个其他的点，它到每对对边距离的积都相等。

    如图所示： Pic Exercise 11.6.1

    根据节定理，有：

    于是

  • 定理：设 ，，， 为圆上偶数个点， 为圆上一定点。记 到 的垂线的长为 等，以此类推。如果取 个垂线相乘，使 的每个下标都出现一次并且也仅出现一次，那么所有这样的乘积都相等。

    还是上一条的证明思路，如果下标只出现一次，那么在乘积中 也只出现一次，这里 为任意下标。最终垂线的乘积等于从 到所有给定点的距离的乘积。

  • 定理：设一个多边形内接于圆，过它的定点作切线形成圆外切多边形，则从圆上一点到第一个多边形各边的垂线的积，等于从这点到第二个多边形各边的垂线的积。

    如图所示：

    Pic Exercise 11.8.1

    如图所示，目的是说明

    首先，根据前前一节的结论，我们知道：

    则

    又根据前数三条的比例中项的结论，可知

    相乘并代入得

  1. §：

  • 定理【已在文中证明】：从任意一点到正 边形各边的距离的代数和是一个定值，即边心距的 倍。（符号这样定义：对多边形内的点，这些垂线都是正的）

    如图所示：

    Pic Exercise 12.1.1

  • 推论（？）a：任一点到正三角形各边的距离和等于高；到正方形各边的距离和等于边长的两倍；等……

    定理秒了。

  • 定理 b：从正 边形的顶点到外接圆的任一条切线的垂线的和，等于半径的 倍。

    利用定理 §，对于任意给定的外接圆的切线，令 处于切点的位置，那么如图所示：

    Pic Exercise 12.3.1

    首先，根据提示，圆上从一点到经过另一点切线的垂线，等于另一点到这点处的切线的垂线。那么如图所示所有的高的和，等价于经过点 且垂直于由所有正多边形顶点处圆的切线组成的正 边形的边上的垂线的和。如图所示：

    Pic Exercise 12.3.2

    所以绿色垂线的和，就变成了黄色垂线的和。再应用本节 § 的定理，垂线和等于边心距的 倍。对于由切线组成的正多边形，边心距等于圆的半径 ，所以绿色垂线的和等于半径的 倍。

  • 定理 c：从正 边形的顶点到任一条直线的垂线的代数和，等于圆心到这条直线的距离的 倍。

    根据提示，作一条平行于任意直线且与正 边形外接圆相切的直线，利用上述定理，顶点到此切线的距离等于半径的 倍。又每个顶点到直线的距离，与到切线的距离相差平行线间的距离，所以拼接后垂线的和就是圆心到直线距离的 倍。

  • 定理 d【已在文中证明】：由圆上任意一点到圆内接正 边形的顶点的距离的平方和是一个定值，等于 。

    根据 § 定理，圆上任一点到正 边形的顶点的距离，是顶点到经过此点的关于圆切线的垂线，和圆的直径的比例中项，即

    所以距离的平方和为 定理

  • 系：设 为圆的半径， 为内接正 边形的边长，则圆上一点到这正 边形各边中点的距离的平方和，是

    根据定理 §，中线长满足：

    求和得到

  • 系【已在文中证明】：圆内接正 边形的顶点的所有连线的平方和是 。

    将 依次放在各个顶点，得到的 个等式相加，和为 ，但是每一条连线都被计算了两次，所以平方和为 。

  1. §：

  • 定理 a【已在文中证明】：两个点之间的距离，与它们的反演点之间的距离的比，等于反演中心到这两条连线的垂线的比。

  • 定理 b【已在文中证明】：设一个圆内接 边形的边长为 ，，，，圆上任意一点 到各边的垂线为 ，，，，则加上适当选择的符号

    因为以 为反演中心，则这多边形的顶点经过反演变为共线点。在反形中，所有的 都相等，而

    文中证明有个跳跃，因为圆被圆上一点反演后变成不经过反演中心的直线，所以圆的内接多边形的顶点都位于此直线上。又根据本节定理，反演前后边的比等于反演中心到反演前后两条直线的比值，反演后点到直线的垂线相等，即 相等，反演后的边的符号和为 0，所以映射前同样满足这个条件。

  • 定理 c【已在文中证明】：设 ，， 为任一点 到一个三角形的边的垂线，，， 为高，则

    每一项上下乘以对应的底边就能得到面积相等的三角形。

  1. §：

  • 定理 a：设三个相等的圆过同一点，则过它们三的其他三个交点的圆与它们相等。

    如图所示：

    Pic Exercise 14.1.1

    为作图方便直接把三个等大的圆的圆心取在橙色圆上了。根据半径关系可知四边形 、 和 全部为菱形，对应对边平行且相等。

    于是可以构造经过 且平行于 的平行线，与经过 且平行于 的平行线相较于点 ，如图所示：

    Pic Exercise 14.1.2

    连接 ， 和 ，如图所示：

    Pic Exercise 14.1.3

    可知四边形 为平行四边形，又 ，所以 为菱形。所以 与 平行相等， 为平行四边形。又 ，所以 为菱形，所以 。

    由于 、 和 三点确定一个圆，且 到三点的距离相等。说明 就是此圆的圆心，而 的半径等于给定三个圆的半径。如图所示：

    Pic Exercise 14.1.4

    • 系：在这个图形中，四个交点组成的图与四个圆心组成的图全等，对应边互相平行而方向相反。

      如图所示：

      Pic Exercise 14.1.2.1

      目的是说明由交点组成的图形（红色）与由圆心组成的图形（紫色）全等。可以拆分成三个三角形全等以及最外层的大三角形全等。。

      补上之前构造的线段，有：

      Pic Exercise 14.1.2.2

      以证明 全等于 为例。根据圆的半径全等，可知四边形 、四边形 和四边形 都是菱形，如图所示：

      Pic Exercise 14.1.2.3

      则三角形 和 的对应边都平行且相等，二者是全等三角形。

      其他对三角形的证明同理。

    • 系：在上面所说的全等形的任一个中，每两个点的连线垂直于另外两个点的连线。

      既然是全等形，证明一个就行。这里就以圆心组成的图形为例。如图所示：

      Pic Exercise 14.1.3.1

      这个图不管用，还是借一下上面的图：

      Pic Exercise 14.1.2.2

      比如说要证明 ，由于 是菱形，，又 和 是菱形 的对角线，互相垂直平分。所以 垂直 。

      其他的关系也可以按照类似的思路证明。

    • 系：任意三条反演圆的切线，及它们所成三角形的外接圆，经过反演，变为相等的圆。

      首先这里说的是三条圆的切线不是三个圆，其次经过反演后得到的是相等的圆不是重合的圆。那么参考链接，可以构造如图所示的结构：

      Pic Exercise 14.1.4.1

      三角形 经过内切圆 的反演，其三条边分别被反演为 、 和 。而三角形的外接圆被内切圆反演成 。

      首先构造方式，基于本节定理的构造，连接 并作经过 且垂直于 的垂线，分别相交于 、 和 处。

      那么因为直角的圆周角一定与直径相对，说明 与 的连线，一定与 的连线一起构成 的直径。于是 在 上。

      经过 构造垂直于 的垂线，垂线相交组成三角形 。那么以 为圆心的橙色实心圆自然而然就是 的内切圆了。

      三角形三边被内切圆反演成蓝色虚线圆 ，且三个圆大小相等。至于为什么外接圆被内切圆反演成红色圆……可以这样考虑：根据上面的构造， 垂直平分 ， 垂直平分 ， 垂直平分 ，那么自然可以得出直角三角形之间的相似关系，即 ，，，所以有：

      同理有

      说明橙色实心内切圆将 反演到 ，所以经过 三点的圆 就是 经过内切圆反演后的反演圆。又 与橙色虚线圆 和 等大，说明任意三角形可以选择其内切圆，将三角形的外接圆和三条边反演为三个等大的圆。

  • 定理 b：设圆心为 及 的两个圆相交于 ，， 为第一个圆的直径， 与 分别交第二个圆于 ，，则 是第二个圆的直径； 与 的夹角等于两个圆的夹角，即 ； 与 的交点 在圆 上。

    首先画图：

    Pic Exercise 14.2.1

    因为 是 的直径，所以 ，自然有 ，所以 也是 的直径。

    对于角度相等的问题，注意到：

    最后，连接 和 ，如图所示：

    Pic Exercise 14.2.2

    首先根据对称性可知 ，又 ，所以 ，所以 和 、、 四点共圆。

  • 定理 c：对两个互相外离的圆作四条公切线，则外公切线的切点，内公切线的切点，内公切线与外公切线的交点，各在一个圆上，圆心都是已知圆的连心线的中点。

    如图所示：

    Pic Exercise 14.3.1

    注意到图像是完全轴对称的，那么按照题设说的四个点组成的完全四边形中，能够直接得出对应角相等的结论，比如 即可说明 、、 和 四点共圆。

    至于为什么圆心都是连心线段的中点，直接构造中点 ，考虑中点到对应点的距离。

    1. 首先说明外公切线的切点共圆且圆心位于连心线段 的中点 上。连接 和 的中点 ，如图所示：

      Pic Exercise 14.3.1.1

      首先因为 是 的中点， 是 的中点，又四边形 是直角梯形，所以 是直角梯形的中位线，。于是根据 ，直角三角形具有全等关系，即 全等于 ，可得 ，所以从 到四点 、、、 的距离相等，说明 是四点圆 的圆心。

    2. 其次说明内公切线的切点共圆且圆心位于连心线段 的中点 上。连接 、 和 ，以及 和 的中点 ，如图所示：

      Pic Exercise 14.3.1.2.1

      但是有这张图还不够，不太好说明具体的平行关系。延长 与 所在的直线相交于 点，如图所示：

      Pic Exercise 14.3.1.2.2

      首先根据垂直关系有 ，所以 。又 是 的中点，所以两个三角形全等，自然有 。

      所以 是 的中位线，，即 和 都是直角三角形。又 是 中点，，所以 与 全等，所以 ，所以从 到四点 、、、 的距离相等，说明 是四点圆 的圆心。

    3. 最后说明内公切线和外公切线交点的共圆的圆心是 。这里需要借用外公切线切点共圆的证明中的性质，即橙色色虚线线段等长：

      Pic Exercise 14.3.1.3.1

      选择 的中点，根据上面的证明已知 和 全等，所以 。

      又因为内公切线和外公切线都是切线，所以有 ，即 。又 ，所以

      根据对称性有 ，所以 ，

      根据边—角—边的判定定理，因为 ，，，可得 全等于 ，所以 ，所以从 到四点 、、、 的距离相等，说明 是四点圆 的圆心。

  • 定理 d：过两个圆的一个交点作直线，这直线与圆的交点之间的线段的长，与它和公共弦所成的角的正弦成正比。

    如图所示：

    Pic Exercise 14.4.1.1

    需要稍加改造，延长 交 于 点，连接 ，所在直线与 相交于另外一点 ，连接 ，如图所示：

    Pic Exercise 14.4.1.2

    因为 是 的直径，所以有 。又直角圆周角与直径相对，所以 是 的直径。

    首先根据正弦定理，有

    所以

    是一个与 和 无关的值。说明 与 成正比。

    • 系：定理中所说的线段，在直线垂直于公共弦时最长。如果两条直线与公共弦成等角，那么相应的线段相等。

      直线垂直于公共弦时 ，长度取到最长。

      如果两条直线和公共弦夹角相等，则它们对应的线段的长度也相等。

  • 定理 e：设圆的一条变动的切线分别交两条固定的平行切线 ， 于 ，，则 对圆心张成直角，并且半径是 与 的比例中项。

    如图所示：

    Pic Exercise 14.5.1

    根据公切线相等可知 、 平分 和 ，所以 ，即圆心角为直角。根据相似三角形关系，，有

    所以圆的半径是 和 的比例中项。

    • 系：两条平行线被一条变动的切线所截成的线段成反比。

      成反比的意思就是乘积恒定。只需要构造与平行线相切的圆和任意圆的切线即可利用定理说明反比关系。

  • 定理 f：设 为等腰三角形， 为底边 的中点；在 与 上分别取 ，，使 等于 ，则 与一个固定的圆相切，这圆的圆心是 ，并且与 ， 相切。

    没啥办法了，只能建系用代数方法证明了，如图所示：

    Pic Exercise 14.6.1

    建什么系啊疯求了，直接构造！经过 构造平行于底边 的直线，与 相交于 点，连接 ：

    Pic Exercise 14.6.2

    再经过 作平行于 的直线交底边 于 点：

    Pic Exercise 14.6.3

    因为 ，所以 ，所以 。又 ，，所以四边形 为平行四边形，，所以 。

    于是

    那么根据圆幂定理，经过 、 和 的圆一定以 为切点，与底边 相切。圆心就是 的垂直平分线与 的交点 ：

    Pic Exercise 14.6.4

    且点 一定在此圆上，因为根据之前的说明，可以利用边—角—边证明 全等于 ，所以 ，所以 。

    又根据 ，可得

    所以 ， 在圆 上。

    于是因为 ，所以 ， 是 的角平分线， 到 和 的距离相等，所以 到 和 的距离。

    说明 到 的距离固定，等于 到腰的距离，即 与以 为圆心且相切于 和 的圆相切。

  • 定理 g【已在文中证明】：在线段 的一侧，以 为直径作半圆。在另一侧，以 为一边作长方形 ，高 等于圆内接正方形的边长，即 。如果从半圆上一点 ，作 ，，分别交 于 ，，那么

    贴个图好了，反正我自己也没证出来：

    Pic Exercise 14.7.1

  • 定理 h【已在文中证明】：设 是等腰三角形，。以 上任意两点 ， 为圆心，作过 的圆 ，，以 上的点 ， 为圆心，作过 的圆 ，。设 与 相交于 ，， 与 相交于 ，。如果 与 相交于 ，那么 ，，， 共圆，圆心为 。如果 与 平行，那么 ，，， 共线，这条直线垂直于 与 。

    贴个图好了，第一种情况， 与 相交于 ，有：

    Pic Exercise 14.8.1

    第二种情况， 平行于 ，有：

    Pic Exercise 14.8.2

    证明方式：如图所示，构造通过 且垂直于 的直线，与经过 且垂直于 的直线相交于点 ，构造圆 ：

    Pic Exercise 14.8.3

    显然有 ，， 和 都与 正交。那么根据 § 定理， 和 ， 和 两对点关于 互为反演。

    根据 §，经过 和 两点的圆与反演圆正交，又 和 与 正交，说明经过 和 的圆与 和 同属同一个共轴圆组，圆心在 上。

    同理，经过 和 两点的圆和 和 同属同一个共轴圆组，圆心在 上。

    所以经过 和 ，以及 或 之一的圆的圆心，和经过 和 ，以及经过 或 之一的圆的圆心，一定是位于 和 的交点 并且四点共圆。

  1. §：

  • 定理：过圆的一条弦 的中点 ，任作两条弦 ，，则 与 与 的交点到 的距离相等， 与 也是如此。

    下面这个定理是此定理的特殊版本，基于下面的定理，令 即可证明此定理。

  • 定理【已在文中证明】：已知一个完全四角形的顶点共圆；设一条直线与一组对边的交点到圆心的距离相等，则它与每一组对边的交点到圆心的距离相等。

    书里给的证明太简略，跳步太多，这里给出一个详细的官方的版本。首先，按照文中的描述构造图形，如图所示：

    Pic Exercise 15.2.1

    其中 、 是直线 与 的交点， 是弦 的中点。根据已知，假设 ，那么以证明 为例证明此定理。首先，过 作平行于 的直线，交 于另一点 ，且连接 、，，：

    Pic Exercise 15.2.2

    很容易证明四边形 是等腰梯形（底边平行，且关于 对称）。于是等腰梯形的对角线相等，即 ，。

    连接 ：

    Pic Exercise 15.2.3

    注意到因为 ，所以 。又因为是等腰梯形，，所以 ，所以四边形 共圆：

    Pic Exercise 15.2.4

    所以 。又 ，，可得 ：

    Pic Exercise 15.2.5

    所以根据角—边—角的判定依据（、、），有 全等于 ，所以 。

    又根据题设，，所以 ，证毕。

    对于 的证明与之类似。

  1. §：

  • 定理：设三角形 内接于三角形 ，又设 平行于 ，交 于 ，等，则三角形 与 面积相等。特别地，设 ，， 共线， 等作法同前，则 ，， 共线。

    如图所示：

    Pic Exercise 16.1.1

    其中 ，，。仿照 § 的证明方法试一下。

    令 ，，，则根据平行线的性质，有

    所以

    所以

    比较关系式可得 。

    至于当 、 和 三点共线，这种情况只能发生在当 都落在三角形的一边上，此时除了原本位于边上的一点外，其余两点只能位于三角形的顶点处。

    那么根据平行关系，过位于三角形某个顶点且平行于对边的平行线，只能是三角形的边，平行线与对边的交点也只能是三角形的顶点。如图所示： Pic Exercise 16.1.2

    当 与 重合时， 与 重合。当 与 重合时， 与 也重合，所以此时 和 位于同一点，自然 、 和 共线。

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