近代欧式几何学

圆的几何学

1. 给出本章中下列命题的完整证明：，，，，，，，，，，，，，，，。

开世的幂的定理

的证明跳步好明显……补充一下：

证明一下 的系，即两个圆的相似圆与这两个圆共轴。首先，格局 ，可知两个圆的相似圆与连心线的交点是两个圆的内位似中心和外位似中心。再根据 ，可知两个圆的相似圆是阿波罗尼圆的特殊情形。由于相似圆上的点根据 到两个圆心的比等于两个圆半径的比，于是根据 定理，这个圆与两个圆共轴。

1. ：

   • 定理：一个点关于两个同心圆的幂的差，等于两圆半径的平方差，因而处处为定值。

     设两个同心圆 ，，则可知点 到两个圆的幂分别为

     所以

     是定值。

   • 定理：一个点到两个同心圆的幂的比为定值，则它的轨迹是一个与已知圆同心的圆，即与它们共轴的圆。

     根据上一个定理，若已知 ，那么

     若 ，则只有当 时等式才成立，此时 和 完全重叠，点 到两个圆的幂自然相等。

2. ：

   • 定理【已在文中证明】：设直线交一个圆于 ，，交另一个圆于 ，；第一个圆在 ， 的切线与第二个圆在 ， 的切线相交于四个点，则这四点共圆，这个圆与已知圆共轴。

     如图所示：

     

     在 处的切线与 在 、 处的交点分别为 、；在 处的切线与 在 、 处的交点分别为 、。

     根据文中的证明方法（应该是文中列出的关系错了……可以构造从 到直线的垂线），有

     又 ，，所以

     同理因为 ，，所以

     又 ，（显然！），所以

     对于四个交点，对应的比为定值。根据 定理，四个点到两个圆的幂的比是定值，它的轨迹是与两个圆共轴的一个圆。

     当直线通过两个圆的一个位似中心时，会出现两个交点在无穷远，另两个交点在根轴上。如图所示：

     

   • 定理：三个圆共轴，从其中一个圆上任意一点作其他两个圆的切线各一条，则过两个切点的直线截两个圆所得的弦的比是一个定值。特别地，如果一条直线截两个圆所得的弦相等，那么在每条弦的一个端点处，所作的切线相交在两个圆的相似圆上。反过来也成立。

     如图所示：

     

     其中 ，， 是共轴的三个圆。 为 上一点，到两圆的切线分别为 和 。 和 则是直线 分别交 和 的不同于 和 的交点。

     这里以第一类共轴圆组为例，首先根据 ，位于共轴圆组中圆 上的点 到组内两个共轴圆的幂成比例，即

     然后弦长满足：

     注意按照上一个定理的证明，有

     且因为是共轴圆组，有

     所以

     注意上述关系式中的量都与点 的位置无关，所以比值是一个定值。

     后面的命题先反着证吧，即再相似圆上取一点，过点作两个已知圆的切线，那么切点的连线截两个圆的弦长相等，如图所示：

     

     首先根据 第二个定理，两个圆的相似圆与这两个圆共轴。根据定理，有

     再顺着证明，如果一条直线截两个圆的弦长相等，反过来看上图：

     

     当两圆被直线所截的弦长相等，即 时，因为

     又

     所以

     所以点 在 和 的相似圆上，到两圆的圆心的距离的比等于两圆半径的比（ 定义）。

3. ：

   • 定理：设一个四边形内接于一个固定的圆，并且两条对边移动时，永远与另一个固定的圆保持相切，则任一组对边，在每个位置，都与两个已知圆的共轴圆相切。

     利用 第二个引理，且以书中的图 32 为例：

     

     已知四边形 内接于外面的大圆，且对边 和 在绕圆旋转的同时相切于定圆（最小圆）。那么对于对边 和 ，经过切点的直线 与 和 相交于 、 两点。

     根据 第二个引理，切线和切点弦的夹角相等，所以直线 与 、 的夹角也相等。过 、 且垂直于 、 的圆与 的外接圆（大圆）、相切于 、 的固定圆（小圆）三圆共轴，此圆就是要找的共轴圆。对于对边 和 也是如此。

     还是做个图吧，这次极端一点把固定圆挪到外接圆外面：

     

关于 的证明再补几个图：

• ：
  • 定理：设一个三角形的顶点，在共轴圆组的一个定圆上连续地移动，两条边分别于这组圆中另两个固定的圆连续地相切，则第三条边与这组圆中一个固定的圆相切。

只能先摆成这个样子：

再补一个，这个图是构造了与 、 相切的圆 后，连接 发现 也与 相切：

直线 不经过 ，这里只是为了画图不小心调到这个位置的。有点吓人了咱就是说。

1. ：

   • 定理【已在文中证明】：设一个多边形的顶点在在一个固定的圆上移动，除一边外，每一条边与一个固定的圆相切，这些圆及第一个圆属同一个共轴圆组，则剩下的一条边也与这共轴圆组的一个固定的圆相切，并且每一条对角线也与这圆组中的一个固定的圆相切。

     就考虑从两条边出发，既然两条边与两个不同的固定的圆相切，那么连接两条边的零另外端点的边一定与一个固定的圆相切（），这条新的边能够与下一条相切于固定圆的边相切，循环往复。最后一定能够说明仅剩的那条边一定与固定圆相切，且所有的圆都是同一个共轴圆组中的圆。

   • 定理：设两个圆有如下关系：一个多边形既是一个圆的内接多边形，又是另一个圆的外切多边形，则可以作出无数多个这样的多边形，并且这可以变动的多边形的每一条对角线各与一个固定的圆相切。

     根据 定理，既然多边形外接于同一个圆，且都与同一个圆内切，那么当多边形的边滑动时，与所有边相切的同一个圆都不会变化。进行一次滑动就能得到一个这样的多边形，所以这样的多边形有无穷多个。

     对于多边形，任取四个顶点构造凸完全四角形，那么对应的四边形的对角线与固定的圆相切。

逆相似圆

5. ：

   • 定理：两个相交的圆有两个逆相似圆，通过它们的交点，互相正交，圆心即两个已知圆的位似中心。两个不相交或相切的圆仅有一个逆相似圆，与已知圆共轴，圆心为外位似中心或内位似中心，根据已知圆外离、外切或内含、内切而定。

     如图所示：

     

     图中 和 的交点为 和 ，他们的内外位似中心分别为 和 。 和 与连心线 的交点分别为 和 。

     根据 ，已知两个圆的反演中心一定是两个圆的一个位似中心。构造以 、 为直径的圆 和 ，以外位似中心 为圆心作正交于 的圆 ：

     

     根据圆幂定理，有 ，说明点 和 关于 是一对反演点。

     那么：

     又 是 和 的外位似中心，有

     代入上面的结果可得 ，说明 是 的切线， 和 关于 成反演点，进而 和 关于 反演， 一定经过 和 的交点 和 。

     现在已经找到一个经过两圆交点的逆相似圆了。那么另一个圆，以内位似点 为圆心，构造经过 和 的圆 ：

     

     由于目前还不知道直接作经过交点的圆证明正交容易，还是作正交于 的圆证明两个圆关于此圆反演容易。这里可以先证明一个场景，如图所示：

     

     以 为反演圆，将 反演为 ，其连心线的交点上， 与 互为反演， 与 互为反演。根据反演的性质，我们知道 、 与 一定相交在点 和 上。于是经过交点 和 作正交于 的圆 。根据对称性可知 一定位于对称轴（连心线 ）上。现在的问题是， 是否是 和 的逆相似圆，即二者是否关于 互为反形？

     证明的思路比较简单，首先，选择以 为圆心的任意大小的反演圆 ，考虑四个圆经过 反演后的图形：

     

     由于反演并不会改变图形之间的相对反演关系，所以 反演后的直线 和 反演后的直线 仍关于他们的反演圆 的反形——直线 互为反演，即 和 关于直线 对称。

     又 和 正交，他们的反形仍然正交，表现为直线 和 垂直。至于为什么反形都经过同一个点……首先四个圆都经过 和 ，四个圆组成第 II 类共轴圆组。于是根据 最后的讨论，这类共轴圆组可以以定点之一为反演中心，变成从公共的圆心发出的直线束，圆心是另一个定点的反演。如图所示：

     

     可以验证 。

     于是可知 和 关于直线 对称。自然他们的反形 和 关于 互为反形。

     回到正题，有了这个工具，从构造过交点圆的方向就会比构造正交于 的方向要容易一些吧。如果我们能够证明以 为圆心且经过 、 的圆 正交于 ，自然就能够说明 和 关于 互为反演。

     所以如上面所示，构造了经过 和 的 后，需要证明 与 正交。这个证明比较麻烦……首先我们需要说明，以内/外位似中心为圆心且经过两圆交点的圆是两圆的逆相似圆。

     之前的构造中采用了作正交圆的技术，但是这里要从作经过两圆交点的角度出发，说明以位似中心为圆心且经过两圆交点的圆是两圆的逆相似圆。如图，作出 和 的内外位似中心 和 ，且经过内外位似中心作经过两圆交点 和 的圆 和 ：

     

     目前没有看到什么简洁的证明方法，只能硬算了。连接 和 与连心线 交于 ， 被连心线 垂直平分。再连接 和 ：

     

     根据位似中心的比例关系，有

     先以证明 是 和 的逆相似圆为例。首先有

     所以有 。对于乘积和 的关系，则需要仔细研究一下。

     首先可知 。那么根据 中的余弦定理，有

     所以

     现在考虑 ，有

     首先需要替换。从比例关系中可以推出关系：

     可得

     由于以后只会出现 项，我们令 。

     所以 的半径的平方 为

     说明

     即 和 是关于 的反演圆。

     接下来针对内位似中心 进行说明。同样地，有

     所以有 。由于已经知道了 和 的大小，这里只需要计算 。在此之前有

     所以

     所以

     所以 的半径的平方 为

     所以

     即 是 和 的逆相似圆。

     因为

     且

     所以 ，即 和 正交。

     两圆相交的情况就说明完毕了。

     对于两圆相离的情况，因为内位似中心 位于两圆之外，导致无法构造以 为圆心且包含 或者 的逆相似圆。具体可以这么理解，因为要求以 和 为圆心的圆正交，则一定有 位于 之外，即 ，平方得

     说明必须满足两圆相交的条件。

     注意到如果 ，说明两圆外切，此时内相似圆的半径

     成为了零圆。此时仅有一个以外位似中心为圆心的逆相似圆 ，且都相切于切点，与已知圆共轴。

     如果两圆内切，则分析过程类似，内切时内位似中心位于大圆内，仅能构造出以内位似中心为圆心的逆相似圆。

     两圆内含得说道说道，如图所示：

     

     容易看出外位似中心不能满足 。计算一下：

     注意到 ，即不存在以 为圆心的逆相似圆，使得 和 是逆相似圆。

6. ：