近代欧式几何学

相切的圆

1. 补全本章定理的证明，如以下各章节 ，，，，，，。

与两个圆相切的圆

1. ：

   • 定理：如果圆心距等于两半径的和，那么两个圆外切。如果等于半径的差，那么两个圆内切。

     如果圆心距等于两圆半径的和，说明在连心线的线段上两圆有且仅有一个与线段的交点，两圆在此仅有一个公共点，两圆相切。过切点作连心线的垂线，圆心位于垂线的两侧，所以圆也位于垂线的两侧，说明两圆外切。

     类似地，如果圆心距等于两圆半径的差，说明连心线上两圆有且仅有一个公共点位于连心线段的延长线上，两圆相切。过切点作垂线，两圆的圆心位于垂线的同侧，说明两圆位于垂线的同侧，两圆内切。

2. ：

   • 定理：两个相切的圆经过反演后，切法不变，除非反演中心在一个圆内并且在另一个圆外。

     根据圆心距判断。分别讨论一下：

     1. 如果两圆 和 外切，有 ，如图所示：

        

        则经过反演圆 的反演后，二者的半径变为（）

        则

        根据 b.， 到反演后的 和 的幂分别为

        注意 和 、 和 并非反演点，不能用 b.，只能用幂计算。根据上式可以计算出

        同样有

        圆心距 不能根据相似三角形得出，只能考虑余弦定理。令 ，，，，，有

        又

        要证明二者相等，必须要证明 ，于是：

        我真的展开对比过了没有偷懒！

        说明 ，即 ，两圆外切。

     2. 当反演中心位于某个圆内，如 时，，所以 变为

        如图所示：

        

        于是

        同样地，计算圆心距 ，，令 ，有

        而 没有改变：

        最终要证明的关系 恒成立。

        由于两圆外切，所以不存在反演点同时位于两圆内的情况。

     3. 对于两圆内切的情况同样可以进行类似的推导说明，在这里不再赘述。如果反演点都在两圆外，同 1.；如果在大圆内小圆外，同 2.；如果在小圆内，同 1.。

3. ：

   • 定理：如果一个圆与两个圆有相同的切法，那么切点与两个圆的外位似中心共线；如果切法不同，与内位似中心共线。在任一种情况，这个圆与另外两个圆的相应的公切线相交在两个圆的根轴上。

     e. 的重述罢了，反正两个定圆的公切圆的切点一定是逆对应点，所以一定经过位似中心。只是外切和内切的区别。如果构造了与两个定圆的反形切法相同的圆，经过反演后会变成与两个定圆切法不同的圆，此时切点的连线经过内位似中心。如果构造了两个与两个定圆的反形切法不同的圆，经过反演后会变成与两个定圆切法相同的圆，此时切点的连线经过外位似中心。

     为了辛苦不白费还是贴个图吧：

     

4. ：

   先配个图：

   然后再配个图：

   • 定理：与两个不相交的圆都相切的圆，组成两组，即顺切圆组和横切圆组。对两个已知圆之间的平面区域中任一个选定的点，每一组中各有一个圆通过它。顺切圆组中没有一个圆将两个已知圆分开，而横切圆组中每个圆将已知圆分开。如果已知圆外离，顺切圆组由切法相同的圆组成，横切圆组由切法不同的圆组成。如果已知圆内含，结论正好相反。对顺切圆组，有一个公共的正交圆；横切圆组没有。

     一条条说明吧：

     • 与两个不相交的圆都相切的圆，组成两组，即顺切圆组和横切圆组。根据 的讨论内容，分为切法不同和切法相同两组。
     • 已知圆之间的平面区域中任一个选定的点，每一组中各有一个圆通过它：不论是第一组还是第二组，对于平面区域之间（不包含边界）的部分上的任意一点，都有两个圆经过它（不知道咋证明随便水一下）。
     • 顺切圆组中没有一个圆将两个已知圆分开，而横切圆组中每个圆将已知圆分开：顺切圆组中的圆与大圆和小圆的切法不同，那么经过极限点的反演后（极限点在两个定圆中的一个圆内），顺切圆组被反演为与两个圆切法相同的圆，此时两个定圆要么与公切圆内切，要么与公切圆外切，此公切圆无法将两个圆分开。横切圆组中的圆与两个定圆的切法不同，两个定圆必定一个在公切圆内一个在公切圆外，此公切圆将两个定圆分开。
     • 如果已知圆外离，顺切圆组由切法相同的圆组成，横切圆组由切法不同的圆组成：当两个圆外离，则将两个圆反演成同心圆的共轴圆组的极限点在两个定圆之一的内部，则与两个反演后的同心圆切法不同的圆（即两反演圆之间的公切圆）的反形会组成顺切圆组，与两个定圆的切法相同。与两个反演后的同心圆切法相同的圆（即包含小圆且与两个圆内切的公切圆）的反形会组成横切圆组，与两个定圆的切法不同。
     • 如果已知圆内含，结论正好相反：因为内含的圆的极限点要么都在定圆内，要么都在定圆外，所以反演前的横切圆组和顺切圆组与反演后的两圆的公切圆的切法相同。
     • 对顺切圆组，有一个公共的正交圆；横切圆组没有：根据旋转对称性，可以构造一个与反演圆同心的、正交于顺切圆组中的圆正交的圆，则所有顺切圆组中的圆都与此圆正交。对于横切圆组，由于圆心位于所有横切圆组的圆内，无法在圆内构造一个与此圆正交的圆。

5. ：

   • 定理：与两个相交的圆相切的圆，组成两组。一组称为外切组，由所有切法相同的圆组成，包括两个圆的公切线。另一组称为内切组，由所有与已知圆切法不同的圆组成。每一组圆有一个公共的正交圆，它与已知圆共轴。组中的圆沿着这公共的正交圆彼此相切。

     给张图先：

     

     一条一条来：

     • 与两个相交的圆相切的圆，组成两组：根据 的分析，与两个圆的反形（直线）相切的圆可以通过反演中心所在哪一个角内来区分。

     • 一组称为外切组，由所有切法相同的圆组成，包括两个圆的公切线。另一组称为内切组，由所有与已知圆切法不同的圆组成：和反演中心所在同一角的对角线上的圆，可以反演为与两个相交定圆切法相同的圆，或者都是内切，或者都是外切。与两个圆的反形（直线）相切且圆心与反演中心不在同一角内的圆，可以反演为与两个相交定圆切法不同的圆。

     • 每一组圆有一个公共的正交圆，它与已知圆共轴。首先每一组圆的切点，根据 e. 可知一定经过内位似中心或者外位似中心。对于外切组，由于圆和两个定圆切法相同，其连线经过外位似中心。作以外位似中心为圆心且经过两定圆交点的圆，此圆与两个定圆同为第 II 类共轴圆组中的成员。至于为什么正交，请看此图：

       

       我们知道 是两个圆的反演圆，也即逆相似圆。此证明可以参考之前第五章习题中 的分析和证明。那么 和 关于 互为反演。所以 关于 的反形一定是 的反形（蓝色直线）和 的反形（绿色）的对角线。注意一定是反演中心所在的角的对角线，因为固定圆关于 的反形（直线）肯定位于 靠近固定圆各自圆心的一侧，所以反演后能够让两个固定圆分开的反形一定和反演中心位于同一侧。所以 的反形一定是黄色虚线对角线。

       由于 和 关于 互为反形， 的圆心又位于对角线上，说明 与对角线正交。由于反演不改变正交关系，所以 的反形（）和对角线的反形（）仍然正交。说明两个圆的外切组的圆都与 正交。

       对于横切组也是一样，如图所示：

       

       注意到 经过 且两个定圆关于 互为反形。根据上面的推导，类似地可以推出橙色对角线就是 关于 的反形，所以 和 在反演后仍然互为正交。

     • 组中的圆沿着这公共的正交圆彼此相切：只要在反演后的对角线上构造相切的圆反演即可。它们的切点落在对角线上，反演后它们的切点就会落在正交圆上。不画图了就。

6. ：

   • 定理：在每一种情况，与两个已知圆相切的圆分为两组，根据它们与已知圆的切法相同或不同来分组。任一组中的圆彼此相切的切点在已知圆的逆相似圆上。如果一个已知圆的共轴圆与一组相切的圆相交，那么交角都相等。任一个与两个已知圆正交的圆，与它们相交于四点。这四点是四个相切的圆与已知圆的切点。这四个圆所成的链中，两组的圆交错地出现（参见 d）。同一组中任意两个圆的切点共圆。使两个已知圆互相交换的反演，或者不改变一个相切圆组中的每一个圆，或者将这些圆两两交换。两个已知圆的逆相似圆与一个相切圆组中的所有圆正交。

     有点麻烦，一条一条来：

     • 在每一种情况，与两个已知圆相切的圆分为两组，根据它们与已知圆的切法相同或不同来分组：根据 和 ，所有与两个圆相切的圆都可以按照切法的相同与不同分为两组。其中切法相同的一组为两圆分离时的顺切圆组和两圆相交时的外切组，切法不同的一组为两圆分离时的横切组和两圆相交时的内切组。

     • 任一组中的圆彼此相切的切点在已知圆的逆相似圆上：对于相交的圆，两组圆的切点肯定在逆相似圆上（见 的分析）；对于相离的圆，只有顺切圆组中的圆才能相切于逆相似圆。因为根据 中的图，定圆经过反演后变成同心圆，那么位于两圆区域之间且与两圆的反形切法不同的圆，都与两个同心圆的逆相似圆（）正交，原因如下：

       以下图中的黄色圆为例：

       

       黄色圆的半径为 ，其中 和 分别是两个定圆 和 关于反演圆 的反形的同心圆的半径。那么点 到 黄色圆圆心的距离为 。如果构造同心圆的反演圆，其半径一定为 ，即两个半径的比例中项。验证正交关系：

       如果组中两个圆相切，那么同心圆中心到切点距离的平方就是同心圆圆心到组内圆的幂，按照上式自然等于同心圆逆相似圆的半径。说明逆相似圆一定经过切点。

       最后经过反演圆的反演，可知顺切圆组中的圆之间的切点一定在两个定圆的逆相似圆上。

     • 如果一个已知圆的共轴圆与一组相切的圆相交，那么交角都相等：

       配个图就知道了：

       

       首先根据 的最后描述，无论是第一类还是第二类共轴圆组，都可以选择组内定点（极限点或者交点）为反演中心，将它们反演成一组同心圆或者经过固定点的直线。根据给出的图，与两个圆 、 和与他们共轴的圆 会被极限点 反演成同心圆 ， 的反形与两个相切圆（ 和 ）的夹角恒定不变，那么被 反演之后，根据 ，可知共轴圆 与公切圆（红色圆与橙色圆）的交角的大小不变，方向相反。说明一组相切的圆中任意圆都与共轴圆中的圆的交角大小相等。

     • 任一个与两个已知圆正交的圆，与它们相交于四点。这四点是四个相切的圆与已知圆的切点：

       这个……肯定的吧，与两个正交的圆肯定各有两个交点，一共四个。按照圆相离与相交分别说明吧：

       1. 首先根据 的系，与两个定圆正交的圆成一共轴圆组，圆心是另一组（两个定圆的共轴圆组）的根轴，且一定经过两个分离圆的根轴。由于两个分离圆的共轴圆组为第 I 类共轴圆组，正交圆形成第 II 类共轴圆组且经过第一类共轴圆组的极限点。那么任选正交圆，其经过基极限点的反演成一条直线，如图所示：

          

          正交圆经过极限点，所以被极限点 反演成经过点 的直线。由于直线和两个反演后的公切圆 和 可能各有两个交点，所以反演前的正交圆与两个公切圆可能各有两个交点。

          由于题目要求说明是四个圆的切点，考虑 和 的反演与定圆 和 相切于正交圆和定圆的交点的情形，如表所示：

          情况	情况 1	情况 2	情况 3	情况 4
          描述	圆心位于 的反形上	圆心位于 的反形上	圆心位于 的反形上	圆心位于 的反形上
          图示

          合在一起就是：

          

          注意粗圆是四个相切圆的反演圆，它们的特点就是 和 与 的反形和 的反形相切于正交圆 的反形（经过 的直线）和两个反形圆的交点处，经过 反演后，正交圆经过了四个公切圆的反形，与固定圆的交点就是切点。

       2. 同样地，与两个相交的圆正交的圆成一共轴圆组。由于相交的圆组成第 II 类共轴圆，所以正交圆成第 I 类共轴圆，以两个定圆的交点为极限点：

          

          注意到点 和 与 的反形（两条直线）的交点互为反演点。第一类共轴圆组会被极限点反演成同心圆的事实不再赘述，所以正交圆 一定会被 反演成以 为圆心的圆。

          那么公切圆 和 经过正交圆和定圆交点的时刻，就是如下表所示的四种情况：

          情况	情况 1	情况 2	情况 3	情况 4
          描述	与 正交	与 正交	与 正交	与 正交
          图示

          合在一起就是：

          

          由于四个圆都与 正交，且交点相同，都是各自圆心与 的切点，说明四个圆相邻的两个圆的连心线就是 的切线，四个圆分别相切。那么进过反演，它们的像也与 和 相切于四个点 、、 和 。

     • 这四个圆所成的链中，两组的圆交错地出现（参见 d）：首先四个圆依次相切。那么为了说明两组圆交错出现，只需要说明任一个圆与其相切的两个圆，和两个定圆的切法都与之不同即可。

       根据 d.，因为正交圆与两个定圆的交点分为两对逆对应点，则以逆对应点为切点的两个公切圆，不可能同时都是定圆的外公切圆或者内公切圆。因为我们在构造公切圆的过程中，相切于与正交圆与定圆交点反演后的点的反演圆与两个定圆的反形的切法不同。所以反演前的切法也相同，即内公切圆和外公切圆交替相切于正交圆和两个定圆的交点。

     • 同一组中任意两个圆的切点共圆。

       根据 定理，如果两个圆相离，则两个圆的顺切圆组有公共的正交圆，且可以构造出任意两两相切的圆，它们的切点在公共的正交圆上。但是横切圆组没有公共正交圆。

       根据 定理，如果两个圆相交，则根据我们上面的证明，可以构造出两两相切的、切点在逆相似圆上的点。

     • 使两个已知圆互相交换的反演，或者不改变一个相切圆组中的每一个圆，或者将这些圆两两交换。

       让两个已知圆互相交换的反演不就是逆相似圆么……如果两圆相离，逆相似圆与顺切圆组中的所有圆正交，肯定不会改变顺切圆组中的每一个圆，因为正交圆反演后等于自身。而对于横切圆组，考虑下图所示的情况：

       

       其中粗的紫色圆是两个定圆的逆相似圆及其关于点 的反演。橙色圆 是两个定圆的顺切圆组关于 的反演。注意到 关于紫色圆 的反演，相当于 关于 呈 旋转对称。现在说明这一点：

       首先，借用 的记号，紫色圆的半径为 ，其中 是 的反演圆的半径， 是 的反演圆的半径。根据反演的性质，反演圆的圆心 一定和反演中心 、圆心 共线。

       不经过 ，反形是一个圆。根据 定理，反形圆的半径为

       反演的幂为

       所以

       说明反演后的圆 与 要么重合、要么关于 成中心对称。但是 与 不成正交关系，所以只能是关于 对称。

       如果两圆相交，则有两个逆相似圆。其中以内位似中心为圆心的逆相似圆与正交圆的内切组正交，反演后不会改变组内的圆。对于外切组，圆会两两交换。这个的说明会更容易，因为经过交点的反演后，逆相似圆变成了直线，两组公切圆的圆心位于两条角平分线上。任一条角平分线和一组圆正交，且是另一组圆的对称轴。那么经过反演，逆相似圆要么将一组圆反演成自身，要么交换另一组中的两个圆。

     • 两个已知圆的逆相似圆与一个相切圆组中的所有圆正交。

       没啥好说的，还是类似的思路。反演后的同心圆一定存在同心正交圆与所有公切圆正交。

   • 定理：如果两个圆与另两个圆相切，并且属于同一组，那么每一对圆的根轴通过另一对圆的对应的位似中心。

     两个圆与另外两个圆相切，即两个圆是另外两个圆的公切圆。属于同一组，可以分情况讨论：

     1. 两个圆相离，则另外两个圆要么属于顺切圆组，要么属于横切圆组。如果两个圆属于顺切圆组，其位似中心是是逆相似圆的圆心，那么能够想象到，逆相似圆是两个圆对称轴的反演，如图中红色加粗的虚直线及其反演圆：

        

        由于红色虚线表示的反演圆经过点 和 ，圆心在 和 的根轴上，说明固定圆的根轴经过两个公切圆的位似中心。反过来，公切圆的根轴可以通过同样的方式说明经过固定圆的位似中心。

        如果两个圆属于横切圆组，其位似中心是逆相似圆的圆心，同样能够想到逆相似圆是两个圆对称轴的反演，如图中橙色加粗的虚直线及其反演圆：

        

        由于橙色虚线表示的反演圆经过点 和 ，圆心在 和 的根轴上，说明固定圆的根轴经过两个公切圆的位似中心。反过来，公切圆的根轴可以通过同样的方式说明经过固定圆的位似中心。

     2. 两个圆相交，回忆一下如何构造两个相交圆的公切圆，如图所示：

        

        两个定圆被交点反演为相交直线，而以相交直线的角平分线为圆心的公切圆关于交点的反形一定与两个定圆相切。又两条直线一定以两条角平分线互为反形，所以角平分线以定圆交点的反形（图中加粗的红色和橙色点划线虚圆）一定是两个定圆的逆相似圆。

        逆相似圆以两个定圆的内外位似中心为圆心。又两组公切圆分别与两个位似中心正交，则它们的根轴一定与逆相似圆正交（这么理解：同一组内的两个公切圆的根轴被逆相似圆反演后，仍然是两个公切圆的根轴，因为正交圆反演后仍然是自身），所以根轴一定经过逆相似圆的圆心，也就是位似中心。

斯坦纳（Steiner）链

7. ：

   • 定理：斯坦纳链经过反演变换后，仍为斯坦纳链。特别地，任一斯坦纳链可以变成与两个同心圆相切的圆链。

     根据定义，斯坦纳链是一组个数有限的，相切于两个公共定圆且与组中另外两个圆相切的一组圆。两圆的相切关系，以及和公共定圆的相切关系不会被反演变换改变。所以反演后仍然是斯坦纳链。

     如果两个定圆不相交，则经过两个定圆的共轴圆极限点的反演后，两个定圆被反演成同心圆，与它们相切的斯坦纳圆链被反演成与两个同心圆相切的一组圆链，与两个同心圆切法不同，每一个链中的圆与另外两个链中的圆相切。

     如果两个圆相交，则经过两圆交点的反演后，两个定圆被反演成直线，而斯坦纳圆链被反演成位于两条直线角平分线上的一组圆链，每一个与两个相切，切法相同（此时没有内切外切之分了，因为是直线与圆相切）。

8. ：

   • a. 定理：任意一批如斯坦纳链这样的，与已知圆相切的圆，可以绕 转过任意角。

     只关心斯坦纳链的圆心即可。在同心圆和斯坦纳链组成的系统中，圆心会绕 转过任意角。那么经过反演之后，由于映射是连续的，自然也会转过任意角。

   • b. 定理：如果两个圆之间有一个斯坦纳链，那么就有无穷多个，任一个顺切圆都是一个链的成员。

     因为能转过任意角度，所以从一个斯坦纳链到另一个斯坦纳链的区别只在于对应的圆与圆心连线的姿态不同，旋转斯坦纳链就可以得到另一组斯坦纳链。

9. ：

   • a. 定理：斯坦纳链中任一两个相邻圆的内公切线通过 ，并且这些切线彼此的夹角相等。

     根据 定理，斯坦纳链会被极限点反演成与两个同心圆相切的圆链，那么圆链之间相切于以 为圆心的同一正交圆（ 定理）上。相切的两个圆的切点是正交圆上的点。由于 到每个链中圆的距离相等，每个圆的大小相等，所以相切的两个圆一定关于他们的内公切线对称，切线也就一定是两个圆的对称轴，也是正交圆的对称轴，所以切线一定经过 。

     经过点 的直线被反演后仍然是直线（ 定理），且直线和圆的相切关系不会被反演改变（ 定理），所以斯坦纳链相邻的两个圆的切线一定经过 。

     至于夹角相等，考虑经过 、链中圆的圆心、此圆与相邻圆的切点三个点组成的三角形，很容易说明所有这样构成的三角形经过反演后全等，即反演后的同心圆中圆链的圆的夹角相等。又反演后进过 的逆三角形与原三角形相似（ 定理），以 为顶点的顶角大小不变，所以角度保持不变，即夹角相等。

   • b. 定理：在一般的图中，设 ， 是由已知圆确定的共轴圆组的极限点（换句话说，其中一点是反演中心，另一点是 的反演点），则可以作一个圆过 ，，与已知圆正交，并且与斯坦纳链中任意两个相邻的圆在它们的切点处相切。在 或 这些所作的圆中每相邻两个交成的角都相等。

     首先，给定任意两个不相交的圆（相交的两个圆无法构成第 I 类共轴圆组），确定他们的共轴圆组和极限点，如图所示：

     

     同心圆中较小圆（蓝色虚线圆）为 ，较大圆（绿色虚线圆）为 。然后构造两个同心圆的逆相似圆 ，其半径与同心圆的关系为 。它们与顺切圆组（组内圆心位于较小的灰色点划线同心圆上）和横切圆组（组内圆心位于较大的灰色点划线同心圆上）都是同心圆：

     

     现在我们需要找到横切圆组中，相邻且相切于 上某点处的两个相邻的圆。取 上一点 ，过 作垂直于 的切线，与 相交于 ， 点，如图所示：

     

     计算 和 的距离，可知：

     说明以 、 为圆心， 和 为半径的圆与两个同心圆相切，是横切圆组中的一部分。且两个圆相切于点 ，这两个圆就是我们要找的圆。

     类似的方式，再找到两个圆，并且得到它们关于反演圆 的反形：

     

     反演不改变相切关系，反形的四个圆仍然是相切的，构成斯坦纳链。回到题目。如果连接 和 ， 还有 ，自然这三条直线是与圆链中的圆相切的直线。经过 的反演，可以得到经过相邻两圆切点，且正交于第一类共轴圆组的第二类共轴圆组的圆：

     

     图中橙黄色虚线的圆就是我们要的，正交于第一类共轴圆组（已知圆也是共轴圆组中的圆），且相切于斯坦纳链中任意两个相邻圆的圆。交角相等也好理解，计算一下圆心到 的半径和反演前三条橙色直线的夹角，可以计算出交点处切线的夹角就等于反演前直线在 处的夹角，所以这些经过第一类共轴圆组极限点的圆，在极限点处的夹角都相等。

     至于与两个圆相切方式相同的横切圆组，无法找到与圆组中的圆都正交的圆。但是与之正交的圆，可以直接通过连接 和切点的方式构造，反演后的橙色（较粗）圆与紫色（较粗）圆正交，如图所示：

     

10. ：

• a. 定理：如果两个同心圆的顺切圆组的每一个圆在 所张的角与 的比为有理数，即 ，那么由一个斯坦纳链，由 个圆组成，绕圆心 恰好 圈。

  这个不用证明了吧……难不成要用阿基米德定理？比值为有理数，说明张角可以整除 的 倍。那么所有的张角加起来就是 ，就是绕反演中心经过 圈。

• b. 定理：两个不同心的圆有一个斯坦纳链的判别法是：每个与它们相切的圆，在 或 张成的角（定义为 b. 中所说的相邻的正交圆的交角）与 的比为有理数。同 a.，如果这个角是 ，那么斯坦纳链由 个圆组成，并覆盖 次。

  两个不同心的圆可以被所在共轴圆组的极限点反演成同心圆，反演后的同心圆圆心与斯坦纳链中圆心的夹角与反演前斯坦纳链与同心圆圆心的夹角相等（因为反演前后圆心与反演中心共线）。然后再根据 a. 定理就可以证明了。